|
Найдем третье ребро из выражения для объема:
.
Площадь поверхности параллелепипеда
.
Ответ: 22.
Ответ: 22
8. B 13. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение.
Из условия найдем, что радиус такого шара
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
9. B 13. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение.
Площадь пирамиды равна
.
Площадь боковой стороны пирамиды . Высоту треугольника найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды
.
Ответ: 340.
Ответ: 340
10. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Вариант № 3713713
1. B 13. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.
Решение.
Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.
Ответ: 12.
Ответ: 12
2. B 13. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки и .
Решение.
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и — прямые. Следовательно, сечение — прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем
Тогда площадь прямоугольника равна:
Ответ:5.
Ответ: 5
3. B 13. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, =3, =5. Дайте ответ в градусах.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как = = то треугольник является равнобедренным, значит, углы при его основании равны по .
Ответ: 45.
Ответ: 45
4. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник :
Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны , тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем:
Так как — острый, он равен
Ответ: 60.
Ответ: 60
5. B 13. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.
Решение.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, вершина пирамиды проецируется в его центр. Введем обозначения, как показано на рисунке. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, треугольник прямоугольный и равнобедренный. В нем
Тогда из прямоугольного треугольника находим, что
Откуда для объема пирамиды имеем:
Ответ: 24.
Ответ: 24
6. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Решение.
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как
.
Диагональ параллелепипеда находится как
.
Выразим :
.
Тогда площадь поверхности
Ответ: 64.
Ответ: 64
7. B 13. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите .
Решение.
Объем конуса равен
,
где – площадь основания, а – высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
.
Тогда объем
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
8. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Решение.
По теореме Пифагора найдем, что половина диагонали основания равна 8. Тогда диагональ основания равна 16, а сторона – и площадь
Тогда объем пирамиды
Ответ: 256.
Ответ: 256
9. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите расстояние между точками и
Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора:
— большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому . Поскольку имеем:
Ответ: 5.
Ответ: 5
10. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
Вариант № 3713751
1. B 13. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
Решение.
Объем прямой призмы равен где – площадь основания, а – боковое ребро. Тогда длина ее бокового ребра равна
.
Ответ: 4.
Ответ: 4
2. B 13. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите .
Решение.
Объем конуса равен
,
где – площадь основания, а – высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
.
Тогда объем
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
3. B 13. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Решение.
При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как и поэтому равен 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
4. B 13.
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Решение.
Площадь лежащего в основании пирамиды многоугольника является разностью площадей квадратов со сторонами 6 и 3 (см. рис.):
Поскольку высота пирамиды равна 3, имеем:
Ответ: 27.
Ответ: 27
5. B 13.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .
Решение.
Площадь осевого сечения цилиндра равна , так как это прямоугольник. Площадь боковой поверхности
.
Ответ: 4.
Ответ: 4
6. B 13. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
Решение.
Площадь основания равна
.
Из формулы для объема пирамиды найдем высоту:
.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора:
.
Ответ: 7.
Ответ: 7
7. B 13. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .
Решение.
Площадь поверхности складывается из площади основания и площади боковой поверхности:
.
Радиус основания найдем по теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой, образующей и радиусом: . Тогда площадь поверхности
Ответ: 144.
Ответ: 144
8. B 13. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
Решение.
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара
.
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
9. B 13. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение.
Площадь пирамиды равна
.
Площадь боковой стороны пирамиды . Высоту треугольника найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды
.
Ответ: 340.
Ответ: 340
10. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Вариант № 3713843
1. B 13. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .
Решение.
Объем шара радиуса вычисляется по формуле , откуда
.
Площадь его поверхности:
.
Ответ: 144.
Ответ: 144
2. B 13. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной части конуса равен
.
Ответ: 607,5.
Ответ: 607,5
3. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и .
Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора
Угол между сторонами правильного шестиугольника равен По теореме косинусов
Значит,
Ответ: 2.
Ответ: 2
4. B 13. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной фигуры равен разности объемов цилиндра с радиусом основания 5 и высотой 5 и цилиндра с той же высотой и радиусом основания 2:
.
Ответ: 105.
Ответ: 105
5. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.
Решение.
Найдем третье ребро из выражения для объема:
.
Площадь поверхности параллелепипеда
.
Ответ: 22.
Ответ: 22
6. B 13. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
Решение.
Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |