|
Вариант № 3712875
1. B 13. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Решение.
Объем такого шара
,
откуда получим, что .
Ответ: 12.
Ответ: 12
2. B 13. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной части цилиндра равен
.
Ответ: 3,75.
Ответ: 3,75
3. B 13. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на .
Решение.
Найдем образующую по теореме Пифагора: . Площадь полной поверхности конуса
.
Ответ: 24.
Ответ: 24
4. B 13. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .
Решение.
Объем шара радиуса вычисляется по формуле , откуда
.
Площадь его поверхности:
.
Ответ: 144.
Ответ: 144
5. B 13. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где — площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда
Ответ: 5.
Ответ: 5
6. B 13. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.
Решение.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений
.
Ответ: 22.
Ответ: 22
7. B 13. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
Решение.
Объем прямой призмы равен где – площадь основания, а – боковое ребро. Тогда длина ее бокового ребра равна
.
Ответ: 4.
Ответ: 4
8. B 13. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .
Решение.
Радиус основания конуса равен половине диагонали квадрата : . Тогда объем конуса, деленный на :
Ответ: 16.
Ответ: 16
9. B 13. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
Решение.
Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:
.
Поэтому объем шара равен
Тогда
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
10. B 13
.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.
Вариант № 3712978
1. B 13. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение.
Из условия найдем, что радиус такого шара
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
2. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник :
Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны , тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем:
Так как — острый, он равен
Ответ: 60.
Ответ: 60
3. B 13. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на .
Решение.
По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен . Тогда объем конуса, деленный на :
Ответ: 128.
Ответ: 128
4. B 13. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.
Решение.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, вершина пирамиды проецируется в его центр. Введем обозначения, как показано на рисунке. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, треугольник прямоугольный и равнобедренный. В нем
Тогда из прямоугольного треугольника находим, что
Откуда для объема пирамиды имеем:
Ответ: 24.
Ответ: 24
5. B 13. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение.
Площадь пирамиды равна
.
Площадь боковой стороны пирамиды . Высоту треугольника найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды
.
Ответ: 340.
Ответ: 340
6. B 13. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Дайте ответ в градусах.
Решение.
В прямоугольнике отрезок является диагональю, По теореме Пифагора
Прямоугольный треугольник равнобедренный: , значит, его острые углы равны
Ответ: 45.
Ответ: 45
7. B 13. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 . Найдите объем пирамиды.
Решение.
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания. В правильном шестиугольнике со стороной расстояние от его центра до стороны равно радиусу вписанной окружности, который равен . Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45°, высота пирамиды также равна . Тогда имеем:
.
Ответ: 48.
Ответ: 48
8. B 13. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной фигуры равен разности объемов цилиндра с радиусом основания 5 и высотой 5 и цилиндра с той же высотой и радиусом основания 2:
.
Ответ: 105.
Ответ: 105
9. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Решение.
По теореме Пифагора найдем, что половина диагонали основания равна 8. Тогда диагональ основания равна 16, а сторона – и площадь
Тогда объем пирамиды
Ответ: 256.
Ответ: 256
10. B 13. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .
Вариант № 3713210
1. B 13. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной части цилиндра равен
.
Ответ: 3,75.
Ответ: 3,75
2. B 13. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной части конуса равен
.
Ответ: 216.
Ответ: 216
3. B 13. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение.
Объем прямой призмы равен где – площадь основания, а – боковое ребро. Тогда объем равен
.
Ответ: 120.
Ответ: 120
4. B 13. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.
Решение.
Сторона правильного шестиугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой
.
Ответ: 24.
Ответ: 24
5. B 13. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите .
Решение.
Объем конуса равен
,
где – площадь основания, а – высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
.
Тогда объем
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
6. B 13. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем
.
Ответ: 48.
Ответ: 48
7. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник катет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне: . Поскольку имеем:
Ответ: 2.
Ответ: 2
8. B 13. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .
Решение.
Радиус основания конуса равен половине диагонали квадрата : . Тогда объем конуса, деленный на :
Ответ: 16.
Ответ: 16
9. B 13.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
Решение.
Запишем формулу для объёма шара:
.
Объём конуса в 4 раза меньше:
.
Ответ: 7.
Ответ: 7
10. B 13. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Вариант № 3713330
1. B 13. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
Решение.
Площадь основания равна
.
Из формулы для объема пирамиды найдем высоту:
.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора:
.
Ответ: 7.
Ответ: 7
2. B 13.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Решение.
..
Ответ: 24.
Ответ: 24
3. B 13. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Решение.
Объем такого шара
,
откуда получим, что .
Ответ: 12.
Ответ: 12
4. B 13.
Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны .
Решение.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Высотой правильной призмы является ее боковое ребро. Основание призмы — правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной вычисляется по формуле . Следовательно,
Ответ: 13,5.
Ответ: 13,5
5. B 13. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .
Решение.
В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на вычисляется следующим образом:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 280 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |