Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Производные по направлениям и субдифференциалы

Выпуклые множества | Свойства выпуклых множеств. | Задачи и упражнения | Выпуклые функции | Свойства выпуклых функций | Критерии выпуклости | Свойства субдифференциала выпуклой функции | Примеры | Задачи и упражнения | Задания для самостоятельной работы |


Читайте также:
  1. Манипуляция сознанием - Все производные светлые мифы Запада
  2. Односторонние производные.
  3. Оптимальная расстановка приобретенного флота по заданным направлениям
  4. ОПТИМАЛЬНАЯ РАССТАНОВКА ПРИОБРЕТЕННОГО ФЛОТА ПО НАПРАВЛЕНИЯМ.
  5. ОПТИМАЛЬНАЯ РАССТАНОВКА ПРИОБРЕТЕННОГО ФЛОТА ПО НАПРАВЛЕНИЯМ.
  6. Ответственные по направлениям на 72-й конференции ВолгГМУ
  7. По дисциплинам, специальностям и направлениям подготовки

Выпуклые функции в общем случае могут быть недифференцируемы в обычном смысле (например, f(x) = |x| недифференцируема в точке х = 0).

Определение. Производной по направлению p(p Rn, p 0) функции f в точке х называется и обозначается f ’(x, p) или (х).

Отметим, что если f(x) дифференцируема в точке х, то f ’(x, p) = (f ’(x),p), где

f ’(x) = - градиент функции f в точке х.

Теорема Радемахера. Всякая выпуклая функция является дифференцируемой почти всюду (за исключением множества лебеговой меры нуль) на открытом множестве Х dom f.

Теорема. Пусть f(x) – выпуклая функция на Rn. Тогда для любой точки х int(dom f) существует и конечна производная функции f по любому направлению pRn.

Для выпуклых функций можно определить понятие субградиента, которое заменяет обычное понятие градиента гладкой функции в задачах на экстремум.

Определение. Вектор g называется субградиентом функции f в точке х0 dom f, если

f(x) – f(x0) (g, x – x0) для любых х Rn.

Множество всех субградиентов функции f в точке х0 называется субдифференциалом функции f и обозначается f(x0).

Замечание. В определении субградиента не требуется выпуклости функции и можно вычислить субградиент в заданной точке и для произвольной функции. Однако для выпуклой функции, определённой на открытом выпуклом множестве, всегда существует хотя бы один субградиент в любой точке множества, т.е. её субдифференциал является непустым множеством. Для произвольной функции это не так.


Дата добавления: 2015-09-01; просмотров: 117 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задачи и упражнения| Геометрический смысл понятия субдифференциала

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)