Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Односторонние производные.

Ф.Энгельс | Доказательство необходимости | Доказательство достаточности | Доказательство | Правила вычисления производной. | Замечание | Примеры | Теорема 5.1. | Примеры | Доказательство |


Читайте также:
  1. Предел функции при х ->а и при х->∞.Геометрическая интерпритация предела функции.Односторонние пределы.

Если для некоторого значения x 0 существует один из пределов: =∞, = +∞ или = -∞, то говорят, что при x 0 существует бесконечная производная или соответственно бесконечная производная определенного знака, равная +∞ или -∞.

Определение 3.1.

Если функция определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки x0 и существует конечный или бесконечный предел:

( ),

то он называется соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции в точке и обозначается + (x0) (или - (x0)).

Из теоремы об односторонних пределах (см.5.9 в [1]) следует, что функция , определенная в некоторой окрестности точки x 0,имеет производную тогда и только тогда, когда +(x 0) и -(x 0) существуют и +(x 0) = -(x 0). В этом случае = +(x 0) = -(x 0).

Пример

Функция f(x)= очевидно, непрерывна в точке x=0, но не имеет в этой точке производной.

В самом деле, при имеем , поэтому для точки

получим .

Следовательно, .

Аналогично, при имеем , поэтому для точки в этом случае получим .

Следовательно,

.

Тем самым доказано, что функция f(x)= не имеет при x=0 производной, однако в этой точке существуют как левая, так и правая производные.

Отметим ещё, что при x >0 имеет место равенство (, а при x<0 соответственно , поэтому для любого x ≠ 0 справедлива формула .


Дата добавления: 2015-09-05; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение 1.1| Определение 3.1.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)