Уравнение прямой, проходящей через данную точку в

данном направлении:

y – y ₀ = k (x – x ₀)

k = tg α (α – угол, образуемый прямой с осью Ох); (x ₀; у ₀) – координаты данной точки.

5. Уравнение y – y ₀ = k (x – x ₀) называют также уравнением пучка прямых с центром в точке (x ₀; у ₀).

Уравнением пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0 имеет вид:

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ + λ (А ₂ х + В ₂ у + С ₂) = 0,

где λ – числовой множитель.

1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М ₁(x ₁; у ₁) и М ₂(x ₂; у ₂):

Если x ₁= x ₂, то уравнение будет иметь вид: x = x ₁; если у ₁= у ₂, то у = у ₁.

1. Нормальное уравнение прямой:

x cos α + y sin α – p = 0,

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала

координат на прямую, α – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой).

1. Уравнение прямой в полярных координатах:

r cos (φ – α) = p.

Пример 3. Построить прямую, заданную уравнением 2 х – у – 4 = 0.

• 1. Для построения построения прямой достаточно знать

координаты двух ее произвольных точек. Полагая в уравнении

прямой, например, х = 0, получим у = –4. Имеем одну точку

А (0; –4). Полагая х = 1, получим у = –2. Отсюда вторая

точка В (1; –2). Осталось построить точки А и В и провести

и провести через них прямую.

2. Задачу можно решить иначе, используя уравнение прямой

в отрезках. Для этого перенесем свободный член (–4) в правую

часть уравнения и разделим обе его части на 4. Получим

– = 1 или + = 1 – уравнение прямой в отрезках на

осях. На оси Ох отложим 2 единицы вправо (от начала координат);

на оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях, через

которые проводим прямую.

Пример 4. Уравнение прямой 4 х – 3 у + 12 = 0 представить в различных видах (с

угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения).

• Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим данное уравнение относительно у. Получим 3 у = 4 х + 12 и далее у = х + 4 – уравнения прямой с угловым коэффициентом; здесь k = , b = 4.

Для получения уравнения прямой в отрезках перенесем свободный член С = 12 вправо и разделим обе части уравнения на –12. В результате получим

+ = 1 – уравнения прямой в отрезках: здесь а = –3, b = 4.

Для приведения исходного уравнения к нормальному виду умножим обе его части на нормирующий множитель λ = , т.е. λ = – . Перед корнем взят знак «–», т.к. свободный член (С = 12) имеет знак «+». Получим

– (4 х – 3 у + 12) = 0, т.е. – х + у – = 0; здесь cos α = – , sin α =

(cos² α + sin² α = + = 1). р = , т.е. расстояние от начала координат

О (0; 0) до прямой равно 2,4.

Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точки:

а) А (0; 2), В (–3; 7); б) А (2; 1), В (4; 1).

• Уравнение прямой, проходящей через две точки

(х ₁; у ₁) и (х ₂; у ₂):

= .

а) = ó = ó –3 y + 6 = 5 x ó 5 x + 3 y – 6 = 0.

б) = ó = => y – 1 = 0 ó y = 1.

Пример 6. Найти прямую, проходящую через точку пересечения двух прямых

–4 х + 2 у + 1 = 0 и х – 3 у + 2 = 0 и проходящую через точку А (1; 0).

• Все прямые, проходящие через точку пересечения двух прямых –4 х + 2 у + 1 = 0 и х – 3 у + 2 = 0, принадлежат пучку прямых –4 х + 2 у + 1 + λ (х – 3 у + 2) = 0. Подставим в уравнение пучка координаты точки А:

–4 × 1 + 2 × 0 + 1 + λ (1 – 3 × 0 + 2) = 0 => λ = 1.

Следовательно, уравнение искомой прямой, принадлежащей пучку и проходящей через точку А (1; 0) –4 х + 2 у + 1 + 1 × (х – 3 у + 2) = 0 ó –3 х – у + 3 = 0 ó 3 х + у – 3 = 0.

Пример 7. Составить уравнение прямой в полярных координатах, если известно, что она проходит через точку М (2; ) и наклонена к полярной оси под углом π.

• Уравнение прямой в полярных координатах

r cos(φ – α) = p (см. рис.)

См. рис.: α = – (π – π) = – = . Тогда

р = 2 cos( – ) = 2 cos = 2 × = , т.е. р = .

Следовательно, уравнение искомой прямой: r cos(φ – ) = .

---

Дата добавления: 2015-07-25