Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ | Если векторы и заданы своими координатами | ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ | СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ | Если векторы , и заданы своими координатами | АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ | Различные виды уравнения прямой | Уравнение прямой, проходящей через данную точку в | Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых |


Читайте также:
  1. A) мнение только совершеннолетнего учитывается;
  2. III. Выберите соответствующие смыслу слова для следующих предложений.
  3. Just - только что
  4. Quot; Я изрек пророчество, как повелено было мне; и когда я пророчествовал, произошел шум, и вот движение, и стали сближаться кости, кость с костью своею".
  5. Quot;Выглядите прилично" тогда, когда это приносит пользу
  6. Quot;Скажи: "Никогда не постигнет нас ничто, кроме того, что предначертал нам Аллах. Он - наш Мавля!" И на Аллаха пусть полагаются верующие!" (Покаяние, 51).
  7. Quot;Это слияние с энергией и есть молитва. Она изменяет вас, а когда изменяетесь вы, изменяется и все Бытие".

|| ó .

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:

= { ах bх, аy by, аz bz },

λ = { λ ах, λ ау, λ аz }.

 

Вектор = , соединяющий начало координат с произвольной точкой М (x, y, z)пространства называется радиус-вектором точки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора = { x, y, z } или = x + y + z.

 

Если вектор = задан точками А (x 1, y 1, z 1) и В (x 2, y 2, z 2), то его координаты ах, ау, аz вычисляются по формулам

ах = x 2 – x 1, ay = y 2 – y 1, aх = z 2 – z 1:

= = { x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1}.

Пример 4. Даны точки А (3; –4; 1) и В (4; 6; –3). Найти координаты вектора = .

 

Из координат конечной точки вычитаем координаты начальной точки. Имеем:

ах = 4 – 3 = 1, ay = 6 – (–4) = 10, аz = –3 – 1 = –4. Т.о., = ={1; 10; –4}.

Пример 5. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (1; –2; 3),

В (3; 2; 1), С (6; 4; 4). Найти координаты его четвертой вершины D.

 

Обозначим координаты вершины D через х, у и z, т.е. D (х; у; z). Имеем: = . Находим координаты векторов и :

={6 – 3; 4 – 2; 4 – 1} = {3; 2; 3}, ={ x – 1; y + 2; z – 3}.

Из равенства векторов и следует: x – 1 = 3, y + 2 = 2, z – 3 = 3. Отсюда:

x = 4, y = 0, z = 6. Т.о., D (4; 0; 6).

 

Пример 6. Найти координаты вектора , если известно, что он направлен в

противоположную сторону к вектору = 5 – 4 + 2 , и его модуль равен 5.

 

Можно записать, что = 5 . Т.к. вектор направлен в противоположную сторону к вектору , то = – . Найдем орт . Из равенства = | | × находим = . Но | | = = 7. Значит, = + . Следовательно, = – + и = 5 = – + .

 

Пример 7. Вектор составляет с осями Ох и Оу углы α = 60° и β = 120°. Найти

его координаты, если | | = 2.

 

Пусть х, у, zкоординаты вектора , т.е. = { x; y; z }. Координаты вектора найдем из соотношений cos α = , cos β = , cos γ = . Предварительно найдем cos γ из соотношения cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1: cos2 γ = 1 – cos2 α – cos2 β =

= 1 – = => cos γ = ± . Условию задачи удовлетворяют два вектора: с направляющими косинусами cos α = , cos β =, cos γ = и с направляющими косинусами cos α = , cos β =, cos γ =.

Т.к. направляющие косинусы – это координаты орта вектора , то

= | | × = {2 × ; 2 × ; 2 × } = {1; –1; },

= | | × = {2 × ; 2 × ; 2 × } = {1; –1; – }

Пример 8. При каких значениях α и β векторы = –2 + 3 + α и

= β – 6 + 2 коллинеарны?

 

Т.к. || , то их координаты должны быть пропорциональными, т.е. должны выполняться равенства = = . Отсюда находим, что α = –1, β = 4.

 

Пример 9. Разложить вектор = {9; 4} по векторам = {1; 2} и = {2; –3}.

 

Требуется представить вектор в виде линейной комбинации векторов. и , т.е. в виде = λ + m , где λ и mчисла. Используя определение равенства векторов, получим {9; 4} = λ {1; 2} + m {2; –3} или . Решая данную систему уравнений относительно λ и m, получим λ = 5, m = 2. Следовательно, = 5 + 2 .

Пример 10. Дана сила = {4; 4; –4 }. Найти величину и направление .

 

Величина силы: | | = = 8.

Направляющие косинусы вектора :

cos α = = = , cos β = = = , cos γ = = = .

Т.о., сила = 8 действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы α = 60°, β = 60°, γ = 135°.


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 120 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обозначение:λ ∙ .| СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)