Свойства функции совместного распределения

Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n = 2 для случайного вектора ()

F0)

F1) не убывает по каждой координате вектора (x₁ x₂).

F2) Для любого i = 1, 2, существуют

При этом

F3) Функция по каждой координате вектора (x₁ x₂) непрерывна слева.

Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F: R ² ® R вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Пример 25. Функция

a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);

б) не является функцией распределения никакого вектора (ξ₁, ξ₂.) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a₁ b₁] x [a₂ b₂], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a₁ £ ξ₁< b₁, a₂ £ ξ₂<b₂) < 0!

Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?

Упражнение. Доказать, что

P(a₁ £ ξ₁< b₁, a₂ £ ξ₂<b₂)= F _{ξ1 ξ2} (b₁, b₂) - F _{ξ1 ξ2} (a₁, b₂) - F _{ξ1 ξ2} (b₁, a₂) + F _{ξ1 ξ2} (a₁, a₂) (8)

Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F, чтобы для всякого [a₁ b₁] x [a₂ b₂] вероятность P (a₁ £ ξ₁< b₁], [a₂ £ ξ₂<b₂], связанная с функцией F равенством (8), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функцией распределения некоторого случайного вектора.

Дата добавления: 2015-11-16