Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 28. Случайная величина ξ имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_ξ(x) такая, что для любого х Î R функция распределения F_ξ(x) представима в виде

При этом функция f_ξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.

Теорема 21. Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f_ξ(x)³ 0 для любого x;

(f2)

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина ξ на нем, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть Ω есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f («подграфик» функции f). Площадь области Ω равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина ξ есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого х Î R

то есть f является плотностью распределения случайной величины ξ

Дата добавления: 2015-11-16