Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

В.13. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.

Т. Ньютона – Лейбница. (основная формула). | В.4.Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница. | В.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. | Условие равномерной сходимости. | В.6. Криволинейный интеграл. Формула Грина. | Вычисление криволинейного интеграла первого рода. | В.7. Производная функции комплексного переменного. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Условия Коши – Римана. Аналитическая функция. | Опр.: Ряд вида (1) называется степенным рядом. | В.9. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье. | Сходимость ряда Фурье. |


Читайте также:
  1. V2: Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости
  2. VI. Общая задача чистого разума
  3. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ АДРЕСАЦИЯ ПРИ РАБОТЕ С ФОРМУЛАМИ
  4. Акустические колебания как негативный фактор техносферы
  5. Акустические колебания.
  6. Б. Понятие о классической статистике. Скорости молекул. Распределение молекул по скоростям и энергиям. Барометрическая формула
  7. Бланк-формула частной концепции

Первая краевая задача для уравнения :

Найти функцию , определенную в области , , удовлетворяющую уравнению для , , граничным и начальным условиям

Если рассматривается явление в течении малого промежутка времени, когда влияние границ ещё не существенно, то вместо полной задачи можно рассматривать предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области:

найти решение уравнения

для , , с начальными условиями

при (1)

Эту задачу называют задачей Коши.

Рассмотрим задачу для неограниченной струны:

(2)

(3)

Преобразуем уравнение (2) к каноническому виду

Уравнение характеристик , распадается на два уравнения:

, интегралами которых являются прямые

Вводя новые переменные ,уравнение колебаний струны преобразуется к виду: (4).

Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4) , где - некоторая функция только переменной . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим:

, (5) где и являются функциями только переменных и . Т.к. всякое решение уравнения (4) м.б. представлено в виде (5) при соответствующем выборе и , то формула (3) является общим интегралом этого уравнения. Сл., функция (6) является общим интегралом уравнения (2).

Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует, тогда оно даётся формулой (6). Определим функции и т.о., чтобы удовлетворялись начальные условия:

Интегрируя второе равенство получим:

,где и C – постоянные. Из равенств

находим

(7)

Т.о. мы определили функции и ч/з заданные функции и , причем равенства (7) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения и , получим:

- формула Даламбера.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 394 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ряд Фурье с периодом .| В.14. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)