Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

В.7. Производная функции комплексного переменного. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Условия Коши – Римана. Аналитическая функция.

В.1.Предел и непрерывность функции одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке. | Свойства функций непрерывных на отрезке. | В.2. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. | Функции нескольких переменных. | В.3. Определённый интеграл и его свойства. Основная формула интегрального исчисления. | Т. Ньютона – Лейбница. (основная формула). | В.4.Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница. | В.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. | Условие равномерной сходимости. | В.6. Криволинейный интеграл. Формула Грина. |


Читайте также:
  1. B каком смысле?
  2. Hарушение условия кругового ожидания
  3. I. Смысл буквы
  4. II. Прочитайте и переведите предложения, обращая внимание употребление эквивалентов модальных глаголов. Где возможно замените эквивалент подходящим по смыслу модальным глаголом.
  5. II. Функции школьной формы
  6. II. Функции школьной формы
  7. II. Функции школьной формы

Пусть в области комплексной плоскости z задана функция f(z). Если для точки существует при предел разностного отношения , то этот предел называется производной функции f(z) по комплексной переменной в точке и обозначается , т.е. (1)

Функция f(z) в этом случае называется дифференцируемой в точке .

Т.1. Если функция дифференцируема в точке , то в точке существуют частные производные функций и по переменным , причем имеют место следующие соотношения:

(2) – условие Коши – Римана.

Т.2. Если в точке функции и дифференцируемы, а их частные производные связаны соотношениями (2), то функция является дифференцируемой функцией комплексной переменной z в точке .

Если функция f(z) дифференцируема во всех точках некоторой области , а её производная непрерывна в этой области, то функция f(z) называется аналитической функцией в области .

Н. и Д. условием аналитичности функции в области является существование в этой области непрерывных частных производных функций и , связанные соотношениями Коши – Римана(2).

Соотношение (2) позволяют получить различные выражения для производной функции комплексной переменной

Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области . Выберем любую точку и проведем через нее произвольную кривую . Функция f(z) производит отображение области комплексной плоскости z на некот. обл. комплексной плоскости .

Пусть точка переходит в точку , а кривая - в проходящую через кривую .

Существует производная функции в точке . Пусть и представим в комплексной форме: (3)

Выберем такой способ стремления к нулю, при котором точки лежит на кривой . Соответствующие им точки лежит на кривой . Комплексной числа и изображаются векторами секущих к кривым и соответственно. Заметим, что и имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей x и u, а и - длины этих векторов. При векторы секущихся переходят в векторы касательных к соответствующим кривым. Из (3): (4) т.е аргумент производной имеет геометрический смысл разности угла вектора касательной к кривой в точке с осью u и угла вектора касательной к кривой в точке с осью x.

Т.к. производная не зависит от способа предельного перехода, то эта разность будет той же и для любой другой кривой, проходящей через точку . Отсюда следует, что при отображении, осуществимом аналитической функцией , удовлетворяющей условием , угол между любыми кривыми и , пересекающимися в точке , равен углу между их образами (кривыми и ), пересекающимися в точке . При этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми и и их образами, но и направление углов. Это свойство называется свойство сохранения углов.

Из (3) получим (5)

Ге6ометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию , бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем определяет коэффициент преобразования подобия. Это свойство называется свойством постоянного растяжения.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 278 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычисление криволинейного интеграла первого рода.| Опр.: Ряд вида (1) называется степенным рядом.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)