Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

знак

-

+

+

+

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке - локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке - локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точка не является экстремумом заданной функции.

Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функции в точке равны нулю, а -ная производная функции в точке отлична от нуля, то точка является точкой экстремума функции , причем,

если

, (38)

то - точка локального минимума

если

, (39)

то - точка локального максимума.

Дата добавления: 2015-07-20