Пример 23

Какие размеры надо придать цилиндру, чтобы при данном объеме его полная поверхность была наименьшей?

Решение:

Обозначим через R радиус основания цилиндра и через - его высоту.

Тогда площадь его полной поверхности равна:

Объем цилиндра задан, поэтому R и связаны соотношением:

откуда

Подставив полученное выражение для в формулу для , получим как функцию от одной переменной R:

Найдем наименьшее значение функции в промежутке .

Найдем вторую производную :

Вторая производная положительна, следовательно в точке функция имеет минимум.

Найдем :

Таким образом, для того чтобы при заданном объеме полная поверхность цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться диаметру его основания.

Ответ:

Задания 9.

Дата добавления: 2015-07-20