Произведение целых натуральных чисел

Определение: Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a * b, удовлетворяющее следующим условиям:

1) a * b = a + a +…+ a, при b > 1,

2) a * 1 = a, при b = 1,

3) a * 0 = 0, при b = 0.

Действие нахождения произведения чисел a и b называется умножением, а числа а и b – множителями.

Дадим теретико-множественное обоснование этого определения.

Пусть А_i ∩Аj= Ø и m (A_j) = m (Aj) = a.

Если множеств будет «b», а каждое из них содержит по «а» элементов, то множество A₁ A₂ … A_b будет содержать а * b элементов, т.к. m (A₁ A₂… A_b) = m (A₁) + m (A₂) +…+ m (A_b) = a + a +…+ a = a * b.

Существование и единственность произведения целых неотрицательных чисел при таком подходе вытекает из существования и единственности суммы любого конечного числа слагаемых. Существование и единственность произведений а * 1 и а * 0 принимается по определению.

Именно с таким подходом к определению произведения целых неотрицательных чисел знакомятся учащиеся в начальной школе.

Однако для вывода законов умножения и правил, связывающих умножение с другими действиями, удобен другой подход.

Определение: Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число а * b, равное числу элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что m (A) = a, m (B) = b.

a * b = m (A B), a = m (A), где b = m (B).

1. Если b = 1, то m (B) = 1 => B = {y₁}, пусть A = {x₁, x₂,…x_a}, т.е. m (A) = a

A B = {(x ₁ y₁), (x ₂ y₁),..., (x _a y₁)} и тогда очевидно, что m (A B) = a. A так как m (A B) = m (A) * m (B) (правило произведения), то a * 1 = a.

2. Если b = 0, то m (B) = 0 => B = Ø, тогда A B = Ø => m (A B) =0= m (A) * m (B). Откуда получаем: a * 0 = 0.

Теорема: Произведение любых двух целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.

Доказательство:

I. Существование.

Так как по определению a * b = m (A B), то для доказательства достаточно показать существование такого декартового произведения множеств. Но для любых конечных множеств множество (А В) существует, значит существует и целое неотрицательное число m (A B), которое принимается за произведение чисел a и b, где a = m (A), b = m (B).

II Единственность.

Пусть A ~ A₁ и B ~ B₁ и m (A) = m (A₁) = a, m (B) = m (B₁) = b. Н айдем A B и A₁ B₁.

Пусть a * b = m (A B) и a * b = m (A₁ B₁).

Чтобы показать единственность произведения, достаточно показать, что А * В ~ А₁ * В_{1 .} А для этого нужно показать, что между этими множествами существует взаимно однозначное соответствие.

Так как A ~ A₁, то существует взаимно однозначное соответствие , при котором

Так как В ~ B₁, то существует взаимно однозначное соответствие при котором

Тогда зададим соответствие f (x, y) таким образом, что

, т.е.

Очевидно, что f является взаимно однозначным соответствием, т.к. любой паре (x,y) ставитсяв соответствие единственная пара (x_1, y₁) и наоборот.

Основные законы действия умножения

2)

3)

4)

Доказательство этих законов предлагается провести самостоятельно.

Дата добавления: 2015-07-20