Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Инволюция

Читайте также:
  1. Инволюция человека в городе.
  2. Инволюция – «третий путь».

Определение: Нетождественное проективное преобразование, совпадающее со своим обратным называется инволюцией φ = φ -1.

Рассмотрим φ ◦ φ -1.

С одной стороны φ◦φ -1= е, с другой φ◦φ -1 = φ◦φ = φ 2, φ 2 = е.

φ 3 =φ◦φ 2 = φ◦е = φ, φ 4 =φ◦φ 3 = φ◦φ = φ 2 = е и т.д.

Замечание: В дальнейшем будем рассматривать инволюцию прямой.

Теорема. Для того чтобы преобразование прямой на себя было инволюцией необходимо и достаточно, чтобы на этой прямой существовала пара точек переходящих друг в друга: А ↔ А′.

Доказательство.

Необходимость: Дано φ=φ -1 и А→φ (А)= А′. Доказать, что А′→ φ (А′) .

φ (А′) = φ (φ (А)) = φ◦φ (А) = е (А) = А.

Достаточность: Дано φ (А) = А′ и φ (А′) = А. Доказать, что φ = φ -1,

т.е. Х если φ (Х)= Х ′, то φ (Х′)= Х.

От противного. Пусть φ (Х)= Х ′, то φ (Х′)= Х ″Х.

Так как это проективное преобразование, то сохраняется сложное отношение четырех точек (АА′,ХХ ′)= (φ (А) φ (А′), φ (Х) φ (Х ′))= (АА, Х ′ Х ′ ′) = (АА′,Х ′′ Х ′), то в силу свойств и единственности сложного отношения получим, что Х = Х ′′. □

Отображение прямой на себя будет задаваться невырожденной матрицей второго порядка.

Пусть М , если φ=φ -1, тогда М = М -1 М2= λ ∙Е.

=

возможны два решения:

М = или М= = аЕ, а это не удовлетворяет определению инволюции.

Итак, матрица инволюции прямой М = Δ М= - (а 2 + ) ≠ 0 (почему?)

Теорема. Пусть на проективной прямой даны пары точек А, А′ и В, В′, причем хотя бы в одной паре точки различны, тогда существует единственная инволюция переставляющая эти точки.

Т.е. А ↔ А′ и В ↔ В′.

Доказательство. Пусть А ≠ А′.

Рассмотрим проективное преобразование φ: А → А′, А′ → А, В → В′,

по теореме о задании проективного преобразования прямой - это преобразование единственное, а в силу предыдущей теоремы это инволюция (А↔А′). □

Вывод: В инволюции всегда есть пара точек А ↔ А′.

Рассмотрим инволюцию и пару А ↔ А′. Если взять эти точки в качестве базисных точек репера, т.е. А и А′ , тогда λ1 А′ = А= = = а = 0, с = λ1 0.

λ2 А= А′= = = b = λ2 0, а = 0.

М = , т.е. формулы проективного преобразования .

Определение: Точка называется инвариантной точкой проективного преобразования, если при отображении она переходит сама в себя → λ∙Х= М ∙Х.

Нахождение инвариантных точек сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы.

det | М – λ ∙ Е | = 0 – характеристическое уравнение.

= 0 λ 2 – а 2 – bс = 0 λ 2 2 + bс=М.

1 случай: Δ М < 0 - существует два решения λ1, 2 = существуют две неподвижные точки.

2 случай: Δ М > 0 - нет решения – нет неподвижных точек.

3 случай: Δ М = 0 - не может быть (почему?).

Определение: Если существует две инвариантные точки, то инволюция называется гиперболической. Если не существует инвариантных точек, то инволюция называется - эллиптической.

Инвариантные точки:

При λ1 = , =

Х1 = .

При λ 2 = - , =

Х2 = .

Вывод: Инволюция может иметь или две неподвижные точки, или ни одной.

Свойства:

1. Для гиперболической инволюции любые две пары соответствующих точек не разделяют друг друга.

2. Для эллиптической инволюции любые две пары соответствующих точек разделяют друг друга.

Доказательство. Пусть в инволюции А ↔ А′ и В ↔ В′.

Возьмем А и А′ за базисные точки репера М = .

Пусть В , причем b1 0 и b2 0 (почему?),

тогда λ∙В′= =

(АА′,ВВ′)= .

Таким образом:

Для гиперболической инволюции - det М = - b∙с < 0,

(АА′,ВВ′) > 0, т.е. пары не разделяют друг друга.

Для эллиптической инволюции - det М= - b∙с > 0,

(АА′,ВВ′) < 0, т.е. пары разделяют друг друга. □

3. Для эллиптической инволюции и любой пары соответствующих точек найдется единственная пара делящая первую гармонически.

Доказательство. Пусть А ↔ А′. Доказать, что существует пара точек В↔В' такая, что (АА',ВВ')= -1.

Возьмем А и А′ за базисные точки репера.

Тогда М = .

Пусть В , причем х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0, тогда В′= .

(АА′,ВВ′)= = -1 (почему радикал существует?).

существует пара точек с координатами и .

Самостоятельно убедитесь, что В ↔ В′. □

4. Неподвижные точки гиперболической инволюции гармонически делят любую пару соответствующих точек А ↔ А′.

Доказательство. Пусть А↔А′, М1 и М2 - неподвижные точки.

(АА′, М1М2)=(А′А, М1М2)= (АА′,М1М2)2 = 1

(АА′,М1М2) = ± 1. Если (АА′,М1М2)= 1 М1 = М2, но неподвижныеточки гиперболической инволюции различны, а значит (АА′,М1М2)= - 1. □


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 142 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Теорема Штейнера | Теорема Паскаля и ее предельные случаи | Предельные случаи теоремы Паскаля | Задачи на построение, связанные с овалом | Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости | Проективные преобразования плоскости | Аналитическое представление проективных преобразований | Перспектива | Построение образов и прообразов точек. | Отображение пучка в пучок |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Построение перспективы пучка в пучок.| Построение образов и прообразов точек при инволюции прямой.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)