Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Паскаля и ее предельные случаи

Читайте также:
  1. АЛКАНЫ (предельные углеводороды, парафины)
  2. Б. Предельные концентрации, применяемые при использовании традиционного метода оценки опасных факторов для здоровья
  3. Билет 28. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов и молекул (орбитальный, спиновый и прецессионный). Типы магнетиков. Теорема Лармора
  4. Внешние эффекты. Положит. и отрицат. внешн. эффекты и проблема эффективного размещения ресурсов в рын. экономике. Теорема Коуза
  5. Гидростатика. Закон Паскаля. Закон Архимеда.
  6. Известные случаи медиумизма
  7. Каковы предельные углы подъема и спуска (а) самоходной машины с гидротрансмиссией?

Определение: Шестивершинником называется совокупность шести различных упорядоченных точек А1, А2, А3, А4, А5, А6, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, и прямых (А1А2), (А2А3), (А3А4), (А4А5), (А5 А6), (А6А1). Точки называются вершинами, прямые называются сторонами.

Определение: Пары прямых:(А1А2) и (А4А5), (А2А3) и (А5 А6), (А3А4) и (А6А1) - называются противоположными сторонами.

Определение: Шестивершинник называется вписанным в овальную квадрику (или паскалевым), если его вершины принадлежат квадрике. Иногда говорят – шестивершинник, инцидентный квадрике.

Теорема Паскаля. Для того чтобы шестивершинник был инцидентен квадрике необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны шестивершинника пересекались в трех точках инцидентных одной прямой.

Замечание: Другая формулировка теоремы: для того чтобы шестивершинник был паскалевым необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны пересекались в коллинеарных точках.

А1 , А2, А3, А4, А5, А6 КВП P, Q, R – коллинеарны, где (А1А2)∩(А4А5)= P

(А2А3)∩(А5А6)= Q

(А3А4)∩(А6А1)= R

Доказательство. Пусть даны шесть точек А1 , А2, А3, А4, А5, А6 инцидентных квадрике, среди которых никакие три не коллинеарны.

Обозначим: (А1А2)∩(А4А5)= P,

(А2А3)∩(А5А6)= Q,

(А3А4)∩(А6А1)= R.

Через пять точек всегда проходит единственная квадрика.

Докажем, что принадлежность точки А6 квадрике коллинеарности точек P, Q, R.

Рассмотрим репер R (А1, А2, А3, А4), пусть в этом репере точки А5 и А6 . Тогда уравнение квадрики: с3 ∙(с2 - с1) ∙х1∙х2 + с2 ∙(с1 - с3) ∙х1∙х3 + с1 ∙(с3 - с2) ∙х2∙х3 =0.

Точка А6 КВП с3 ∙(с2 - с1) ∙d 1 ∙d 2 + с2 ∙(с1 - с3) ∙d 1 ∙d 3 + с1 ∙(с3 - с2) ∙d 2 ∙d 3 =0.

Найдем координаты точек P, Q, R в репере R (А1, А2, А3, А4).

Так как точки А1, А2, А3 - базисные, то уравнения координатных

прямых будут: (А1А2) - х3= 0, (А1А3) - х2= 0, (А2А3) - х1= 0.

Уравнения прямых:

(А3А4) → =0 - х1 + х2 = 0,

(А4А5) → =0 (с2с3) ∙х1 +(с3с1) ∙х2 +(с1- с2) ∙х3 =0,

(А5А6) → =0

(с2∙d3с3∙d2) ∙х1 + (с3∙d1с1∙d3) ∙х2 + (с1∙d2 - с2∙d1) ∙х3 = 0,

(А6А1) → =0 - d3∙х2 + d2∙х3 = 0,

Р= (А1А2) ∩ (А4А5) →

Q =(А2А3) ∩ (А5А6) →

R= (А3А4) ∩ (А6А1) → .

Тогда координаты точек P , Q , R .

Запишем условие коллинеарности точек: =0

d2 ∙(с2 - с3)∙(с3 d11 d3) -d2 ∙(с1 - с3)∙(с3 d11 d3)+ d3 ∙(с1 - с3)∙(с2 d11 d2)=

= d2 ∙(с3 d1 - с1 d3)∙(с2 - с3 - с1 + с3) + d3 ∙(с1 - с3)∙(с2 d1 - с1 d2) = d2 ∙(с3 d1 - с1 d3)∙(с2- с1)+ d3 ∙(с1 - с3)∙(с2 d1 - с1 d2)=

d2с3 d1с2 - d2с1 d3с2 – d2с3 d1с1 + d2 с1 d3 с1 + d3с1с2 d1 – d3с3с2 d1 - d3 с1с1 d2 + d3с3с1 d2 =

= d2d1 ∙(с3с2 - с3с1) - d2d3 ∙(с1с2 - с3с1) + d3d1 ∙(с1с2 - с3с2) =

= d2d1с3 ∙(с2 1) + d2d3с1 ∙(- с23)+ d3d1с2 ∙(с1 - с3) =0.

Т.о. условие коллинеарности точек P,Q,R условию А6 КВП. □

Замечание: Частным случаем теоремы Паскаля является теорема Паппа.

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 239 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Гармонизм | Гармонические свойства полного четырехвершинника | Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника | Задачи на построение. | Квадрики на проективной плоскости | Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. | Взаимное расположение прямой и квадрики | Уравнение касательной | Полюс и поляра | Задачи на построение |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Теорема Штейнера| Предельные случаи теоремы Паскаля

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)