Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Декартово умножение множеств

Читайте также:
  1. F65.6 Множественные расстройства сексуального предпочтения.
  2. F95.2 Комбинированное вокальное и множественное моторное тикозное расстройство (синдром де ля Туретта).
  3. Билет №20. Аллельные гены. Наследование признаков при взаимодействии аллельных генов. Примеры. Множественный аллелизм. Механизм возникновения.
  4. Виды множественности преступлений
  5. Виды множественности преступлений
  6. Выбор форм множественного/единственного числа
  7. Вычитание множеств. Дополнение множества

 

Рассмотрим следующую задачу. Сколько можно составить слогов, состоящих из двух букв, из которых первая – любая согласная из П, Р, С, а вторая – любая гласная из А, О, У, Э? Чтобы выписать все возможные слоги составим таблицу (табл. 2).

Таблица 2

  А О У Э
П ПА ПО ПУ ПЭ
Р РА РО РУ РЭ
С СА СО СУ СЭ

 

С точки зрения теории множеств из двух данных множеств
А = {П, Р, С}, В = {А, О, У, Э} образовано новое множество слогов, состоящее из пар элементов, входящих в множества А и В, причем на первом месте стоит элемент из А, а на втором – элемент из В. Множество таких пар называется декартовым (или прямым) произведением множеств А и B.

Определение. Декартовым произведением А ´ В двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех пар элементов (а, в), таких, что а Î А, в Î В, т.е. А ´ B = {(а, в) | а Î А, в Î В}.

В частности, для любого множества А, А ´ Æ = Æ ´ А = Æ.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств.

П р и м е р. А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4, 5}, А ´ B = {(1, 2), (1, 3),
(1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}.

Заметим, что порядок расположения элементов в парах существенен, например, (2, 3) ≠ (3, 2).

Если A и B – числовые множества, то А ´ В – это множество упорядоченных пар чисел, изображая каждую пару чисел в прямоугольной декартовой системе координат, получим фигуру на плоскости. Например на рис. 9 изображено А ´ В множеств А = [0, 2], B = [1, 2]. На рис. 10 изображено А ´ В множеств А = {0, 1, 2}, B = [1, 2].

у у

 

 

2 2

 

1 1

0 1 2 х 0 1 2 х

Рис. 9 Рис. 10

Так изображают графически декартово произведение двух числовых множеств.

Декартово умножение множеств не подчиняется коммутативному закону, т.е. существуют множества А и В, для которых A´ВВ´А. Декартово умножение не подчиняется и ассоциативному закону, но связано с операциями объединения, пересечения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами: для любых множеств А, В и С имеют место равенства:

(А В) ´ С = (A ´ С) (В ´ С), С ´ (А В) = (С ´ А) (С ´ В);

(А В) ´ С = (A ´ С) (В ´ С), С ´ (А В) = (С ´ А) (С ´ В);

(А \ В) ´ С = (A ´ С) \ (В ´ С), С ´ (А \ В) = (С ´ А) \ (С ´ В).

Эти свойства интуитивно ясны.

Проверим для множеств А = {1, 2}, B = {2, 3} и C = {a} равенство (А В) ´ С = (A ´ С) (В ´ С).

Тогда {1, 2, 3} и = {(1, a); (2, a); (3, a)}.

С другой стороны, {(1, a); (2, a)}, {(2, a); (3, a)} и {(1, a); (2, a); (3, a)}.

Как видно, этот пример подтверждает равенство. На этом примере можно проверить и все остальные равенства, приведенные выше.

Однако, пример, подтверждающий равенство, не может служить доказательством этого равенства. Приведем в качестве примера и общее доказательство рассмотренного выше равенства:

и ( или ) и ( и ) или ( и ) или .

Следовательно, . Обратное включение доказывается точно такой же цепочкой, рассматриваемой лишь с конца.



Можно найти декартово произведение нескольких множеств (двух, трех, …, n множеств).

Определение. Декартовым произведением A1 ´ A2 ´ … ´ An множеств A1, A2, …, An называют множество всех упорядоченных наборов вида (a1, a2, …, an), где а1 Î А1, а2 Î А2, …, аn Î Аn. Каждый такой набор называют кортежем длины n, т.е.

A1 ´ A2 ´ … ´ An = {(а1, а2, …, аn)| а1 Î А1, а2 Î А2, …, аn Î Аn}.

Пример. А = {1, 2, 3}, В = {3, 5, 7}, C = {4, 6}. Найдите A´В´С.

A ´ В = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}.

A ´ В ´ С = {(1, 3, 4), (1, 5, 4), (1, 7, 4), (2, 3, 4), (2, 5, 4), (2, 7, 4),
(3, 3, 4), (3, 5, 4), (3, 7, 4), (1, 3, 6), (1, 5, 6), (1, 7, 6), (2, 3, 6), (2, 5, 6), (2, 7, 6), (3, 3, 6), (3, 5, 6), (3, 7, 6)}.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 241 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Учебное пособие | Множество и его элементы | Способы задания множеств | Отношения между множествами | Множество всех подмножеств данного множества. Универсальное множество | Пересечение множеств | Объединение множеств | Свойства, связывающие операции пересечения и объединения | Вычитание множеств. Дополнение множества | Соответствия между элементами множеств |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства вычитания и дополнения| Разбиение множества на классы

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.009 сек.)