Свойства, связывающие операции пересечения и объединения

Кроме перечисленных ранее свойств операций пересечения и объединения, есть свойства, связывающие обе операции.

Для любых множеств А и В

А (В А) = А, (1)

А (В А) = А. (2)

Эти свойства следуют из закона поглощения 5° (§ 7) и свойства 5° (§ 6).

Докажем (1). Пусть х Î А (В А), тогда, по определению объединения, х принадлежит хотя бы одному из множеств А или
В А. Если х Î А, то свойство доказано, если х Î В A, то х Î В и
х Î A, т. е. опять х Î А. Что и требовалось доказать.

Свойство (2) доказывается аналогично.

Особый интерес представляют свойства, связывающие операции объединения и пересечения – так называемые распределительные (или дистрибутивные) законы.

Для любых множеств А, В, С справедливы следующие свойства:

А (В С) = (А В) (A С), (3)

А (В С) = (А В) (А С). (4)

Проиллюстрируем справедливость свойства (3) на диаграмме Эйлера-Венна (рис. 5 и рис. 6).

(Точно также можно проиллюстрировать (4)). Чтобы не загромождать диаграмму, каждая часть равенства изображена на отдельном рисунке.

Рис. 5 Рис. 6

Такое иллюстрирование, однако, не может считаться доказательством распределительного закона. Приведем доказательство свойства (4). Для доказательства (4) достаточно убедиться, что:

А (B С) Í (А В) (А С) и

(А В) (A С) Í A (В С).

Доказательство.

Итак, пусть х Î А (B С), докажем, что x Î (A B) (A С). Раз х Î А (В С), то х Î A и х Î В С, т.е. х Î A и х Î В или
х Î С. Значит, х Î (А В) (А С).

Проверим второе включение.

Пусть х Î (А В) (А С). Тогда х Î А В или х Î A С. Предположим, что х Î A В, тогда х Î А и х Î В, значит х Î А и
х Î В С, т.е. х Î А (В С). Случай, когда х Î А С разбирается аналогично. Свойство (4) доказано.

Доказательство свойства (3) аналогично.

Дата добавления: 2015-07-18