Собственные свободные колебания линейных систем с одной степенью свободы

Положим, что внешняя сила равна нулю и система, выведенная из положения равновесия в начальный момент, далее представлена самой себе. Такие колебания называются собственными.

Введем еще одну идеализацию: положим, что сопротивление демпфера в механической системе равно нулю. Такие колебания называются свободными.

Исследование собственных свободных колебаний представляет важный практический интерес, так как характеристики этих колебаний (частоты и формы) полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также и при анализе вынужденных колебаний.

Кстати, резонанс – явление неограниченного возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Имеет место при совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных свободных колебаний.

Итак,

Задано: начальное отклонение массы от положения статического равновесия.

начальная скорость.

математическая модель, описывающая собственные свободные колебания системы с одной степенью свободы.

тогда линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение:

где А и В - постоянные интегрирования, определяются из начальных условий задачи.

Итак,

Этому решению можно придать иную форму.

Положим, тогда

Справка:

В этом решении фаза колебаний,

начальная фаза,

а - амплитуда колебаний (наибольшее отклонение груза от положения равновесия)

Так как sin - функция периодическая, то и движение груза относительно положения равновесия периодическое.

Аргументом sin является функция . Такое движение называют гармоническим. Промежуток времени T, в течении которого груз совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.

Груз совершает полное колебание, если аргумент изменяется на .

где v – круговая частота колебаний – количество полных колебаний, которые совершает груз за секунд.

Вспомним, что то есть частота собственных свободных колебаний не зависит от начальных условий, а определяется только массой груза и жесткостью пружины.

Рассмотрим еще линейную частоту, равную числу колебаний за 1 секунду, то есть величину обратную периоду Т колебаний.

Частоту собственных свободных колебаний иногда удобнее определить через удлинение пружины, которое получается, если груз свободно висит на ней:

Пружину в механической системе можно заменить любым упругим телом, подчиняющимся закону Гука, если массой этого тела пренебречь.

Пример:

Сравним выражение при условии эта схема эквивалентна ранее рассматриваемой.

Дата добавления: 2015-07-15