Метод динамического программирования

Данный метод, разработанный Р. Беллманом, позволяет решать вариационные задачи при сложном виде возможных управлений. Он получил широкое применение при решении транспортных задач, задач распределения ресурсов, замены оборудования и т.д. При проектировании метод динамического программирования может быть использован для оптимизации конфигураций деталей, если их поверхность представлена как некоторая траектория в пространстве.

Метод динамического программирования отвечает тому естественному ходу человеческой мысли, который был вырабо­тан эволюцией. Подобные методы оптимизации, основанные на идее последовательного анализа вариантов, в большой степени используют природу изучаемых задач.

В основе метода лежит сформулированный Р. Беллманом принцип оптимальности. Этот принцип верен для тех систем, последующее движение которых полностью определяется их

состоянием в текущий момент времени. К таким системам отно­сятся, например, управляемые системы, т.е. системы, аналогич­ные тем, для которых вводится принцип максимума.

Принцип оптимальности отражает важнейшие особенности задач оптимального управления. Его суть можно объяснять по-разному. Ввиду его важности приведем несколько формулировок.

Первая формулировка. Если управление оптимально, то, каковы бы ни были первоначальное состояние системы и управление системой в начальный момент времени, последующее управление оптимально относительно состояния, которое сис­тема примет в результате начального управления.

Указанное свойство - одно из основных, для процессов марковского типа, т.е. процессов, будущее поведение которых полно­стью определяется состоянием и управлением в настоящее время.

Вторая формулировка. Оптимальное управление в любой момент времени не зависит от предыстории системы и опреде­ляется только состоянием системы в этот момент и целью управления.

Еще один вариант принципа оптимальности дадим для за-дачи оптимального управления с фиксированным временем и свободным правым концом. Пусть закон движения описывает­ся автономной системой дифференциальных уравнений (6.25), причем заданы начальный t₁ и конечный t₂ моменты времени, а также начальное состояние x(t₁) = х¹. Целевой функционал оп­ределим следующим образом:

Третья формулировка. Начиная с любого момента време­ни t^'ϵ[t₁,t₂] участок оптимальной траектории также является оптимальной траекторией.

Другими словами, каково бы ни было положение точки x^*(t') на оптимальной фазовой траектории, ее участок от точки х*(t') участок 2 на рис. 6.10) тоже является оптимальной траекторией.

Что же касается участка 1 оптимальной траектории до точки x^*(t'), то можно утверждать, что этот участок есть оптимальная траектория, когда точка x*(t^') - х' является фиксированной, т.е. ко­гда по условию задачи допустимая траектория обязательно должна проходить через точку х'. Если же задана только начальная точка x*(t₁) - x¹, то участок 1 оптималь­ной траектории сам по себе может и не быть оптимальной траекто­рией, т.е. может не доставлять минимум целевому функционалу в задаче со свободным пра­вым концом.

Таким образом, важно иметь в виду, что принцип опти­мальности относится к последующему за данным состоянием движению системы, но может нарушаться для движения, пред­шествующего данному состоянию. Следовательно, нужно под­черкнуть, что принцип оптимальности не может быть распро­странен на любой участок траектории движения.

Отметим еще одну особенность оптимального управле­ния, вытекающую из принципа оптимальности: выбор опти­мального управления определяется лишь состоянием системы в текущий момент времени Если в какой-то период времени управление было не оптимальным, то последствия этого в бу­дущем исправить уже нельзя

Дата добавления: 2015-07-15