Миграция Кирхгоффа

Clearbout (1985) для описания физических основ миграции использует пример порта (рис.4.21). Допустим, что на некотором расстоянии от берега z₃ имеется противоштормовой барьер (storm barrier), в котором есть проход. Предположим, что со стороны океана в результате бриза надвигается плоская волна. Проход в барьере, действуя как вторичный источник, сформировал полукруглый волновой фронт, распространяющийся в сторону берега. Если мы не знаем о существовании барьера и прохода, мы можем расположить вдоль берега приемную косу, чтобы зарегистрировать приближающиеся волны. Этот эксперимент показан на рис.4.22 вместе с зарегистрированным временным разрезом. Физики называют проход в барьере точечным отверстием (point aperture), которое аналогично точечному источнику, поскольку также формирует круглый волновой фронт. Однако, амплитуды в волновом фронте, распространяющемся от точечного источника, являются изотропными, тогда как в случае точечного отверстия амплитуды зависят от угла. Точечное отверстие в барьере действует как вторичный источник Гюйгенса.

Из опыта, предложенного выше, мы находим, что вторичный источник Гюйгенса реагирует на плоскую падающую волну и формирует полукруглый волновой фронт в плоскости (x, z). Отклик в плоскости (x, t) представляет собой годограф дифрагированной волны (рис.4.23).

Предположим, что разрез состоит из точек на каждом отражающем горизонте, которые ведут себя как проходы в противоштормовом барьере. На рис.4.24 видно, что эти точки действуют как вторичные источники Гюйгенса и формируют гиперболические годографы. Более того, по мере приближения источников (точек на отражающей поверхности) друг к другу суперпозиция годографов формирует отклик действительной отражающей поверхности (рис.4.25). Если использовать терминологию примера с портом, это можно уподобить прорыву барьера штормом, в результате чего первичная падающая плоская волна достигает берега, не претерпевая изменений. Годографы дифрагированных волн, появление которых вызвано разрывом на обоих концах отражающей поверхности на рис.4.25, сохраняются; они эквивалентны дифрагированным волнам, видимым на границах разлома на суммарном разрезе.

Рис.4.16 (а) Наклонные отражающие поверхности на модели разреза (постоянная скорость в среде – 3000м/с) и (b) на разрезе с нулевым выносом (шаг между трассами – 25м). Мигрирование разреза с нулевым выносом дает модель разреза. Точки А и В упоминаются в уравнении 4.2.

Рис.4.17 Исправленные отражающие поверхности (синклинали и антиклинали) (а) до миграции; (b) после миграции. Описание см. в тексте. (Моделирование выполнено Union Oil Company.)

Рис.4.18 (а) Модель глубин, состоящая из отражающей поверхности, искривленной по типу синклинали; (b) соответствующий временной разрез. Постройте «петлю» на временном разрезе.

Рис.4.19 (а) Сумма ОСТ; (b) миграция. Антиклинали выглядят увеличенными, а синклинали – уменьшенными по сравнению с их действительными разрезами на немигрированном разрезе (а).

Рис.4.20 (а) Сумма ОСТ; (b) миграция. Миграция развязала «петли» и превратила их в синклинали под А и В.

Рис.4.21 Проход в барьере действует, как вторичный источник Гюйгенса, вызывая круглые волновые фронты, которые приближаются к береговой линии (по Clearbout, 1985).

Рис.4.22 Волны, зарегистрированные вдоль берега и сформированные вторичным источником Гюйгенса (проходом в барьере на рис.4.21), имеют

Рис.4.23 Точка, которая представляет вторичный источник Гюйгенса на глубинном разрезе (а) попадает на годограф дифрагированной волны на временном разрезе с нулевым выносом (b). На этом разрезе вертикальная ось градуирована в полном времени пробега, а вертикальная ось на временном разрезе на рис.4.22 градуирована во времени пробега в одном направлении.   Рис.4.24 Суперпозиция отклика с нулевым выносом (b) дискретного количества вторичных источников Гюйгенса на глубинном разрезе (а).

Рис.4.25 Суперпозиция отклика с нулевым выносом (b) непрерывной среды вторичных источников Гюйгенса на глубинном разрезе (а).   Рис.4.26 Принципы миграции, основанной на положении полукруга. (а) Разрез с нулевым выносом (шаг между трассами 25м; постоянная скорость 2500м/с), (b) миграция. Точка на временном разрезе (а) попадает в полукруг на глубинном разрезе (b).

В итоге мы выясним, что отражающие поверхности в разрезе могут быть визуализированы как состоящие из множества точек, действующих подобно вторичным источникам Гюйгенса. Мы увидели также, что разрез с нулевым выносом представляет собой суперпозицию гиперболических годографов. Когда на отражающей поверхности имеются перерывы (разломы), часто можно различить годографы дифрагированных волн.

Сигнатура вторичного источника Гюйгенса представляет собой полукруг в плоскости (x, z) и гиперболу в плоскости (x, t). Из этих характеристик точечных источников можно вывести две схемы практической миграции. На рис.4.26а показан разрез с нулевым выносом, который состоит из одного вступления на одной трассе. Это вступление мигрирует на полукруг (рис.4.26b). Из рис.4.26 видно, что разрез с нулевым выносом, зарегистрированный по модели с постоянной скоростью, которая состоит из полукруглой отражающей поверхности, содержит один всплеск энергии на одной трассе (рис.4.26b). Поскольку этот зарегистрированный разрез состоит из импульса, мигрированный разрез на рис.4.26b можно назвать импульсным откликом миграции (migration impulse response). Другая схема миграции является результатом наблюдения, что разрез с нулевым выносом, состоящий из одной гиперболы дифрагированной волны, мигрирует в одну точку (рис.4.27b).

Первый метод миграции основан на наложении полукругов, а второй – на суммировании амплитуд по гиперболическим траекториям. Первый метод использовался до наступления эры цифровых компьютеров, а второй, известный как метод суммирования дифрагированных волн (diffraction summation method), был первой реализацией миграции на компьютере. Схема миграции, основанная на положении полукругов, включает размещение амплитуда выборки во входном пространстве (x, t) немигрированного временного разреза на полукруге в выходном пространстве (x, z). Мигрированный разрез формируется как результат наложения нескольких полукругов. Схема миграции основанной на суммировании дифрагированных волн, включает поиск во входных данных в пространстве (x, t) энергии, которая должна возникнуть в случае, если дифрагирующий источник (вторичный источник Гюйгенса) расположить в определенной точке выходного пространства (x, z). Этот поиск выполняется путем суммирования амплитуд в пространстве (x, t) по годографу дифрагированной волны, который соответствует вторичному источнику Гюйгенса в каждой точке пространства (x, z). Затем результат суммирования размещается в соответствующую точку в пространстве (x, z).

Суммирование дифрагированных волн представляет собой прямое суммирование амплитуд по гиперболической траектории, кривизна которой определяется скоростной функцией. Уравнение для этой траектории можно вывести из геометрических построений на рис.4.27. В предположении горизонтально-слоистой скоростной модели, скоростная функция, используемая для расчета годографа, представляет собой среднеквадратичную скорость на вершине гиперболы при времени t (0) (см. Раздел 3.2.1).Из треугольника СОА (рис.4.27а) получаем:

t ^2(x) = t ^2(0) + 4 x ^2/ v ^2 rms

(4.4)

После расчета входного времени t (x) амплитуда во входной точке В размещается на выходном разрезе в точке А, соответствующей входному времени t = t (0) на вершине гиперболы. Согласно Разделу 3.2.1 годографы отраженных волн в слоистой среде аппроксимируются гиперболами на коротких расстановках. Может показаться, что это накладывает значительное ограничение на ширину отверстия (т.е. на латеральную протяженность годографа дифрагированной волны) в процессе суммирования. Однако, аппроксимация короткой расстановкой действительна даже при больших расстояниях от вершины, а ошибки, ассоциированные с ней, на поздних временах являются незначительными. На практике эта аппроксимация почти никогда не представляет проблему.

Сейчас рассмотрим несколько фактов, ассоциированных с поведением амплитуды и фазы вдоль годографа дифрагированной волны. Из рис.4.21 видно, что если мы можем выбрать, в какой точке лучше находиться – А или В, мы интуитивно придем к выводу, что безопаснее находиться в точке В. Причина этого заключается в том, что амплитуда волны в точке А, которая находится на оси z больше, чем амплитуда волны в точке В, которая смещена под некоторым углом к оси z. Это одно различие между точечным источником с однородной амплитудной характеристикой на всех углах и точечным отверстием, которое формирует волновой фронт с амплитудами,

Рис.4.27 Принципы миграции, основанной на суммировании дифрагированных волн. (а) Разрез с нулевым выносом (шаг между трассами 25м; постоянно скорость 2500м/с); (b) миграция. Амплитуда в точке В на фланге размещается на вершине А по уровню гиперболического годографа (4.4).

зависящими от угла. Эту зависимость амплитуд от угла необходимо учитывать перед суммированием. Чтобы выполнить поправку за наклон к амплитуде в точке В на рис.4.27 нужно применить масштабный коэффициент – косинус угла между ВС и СА, и только после этого размещается в точку А. Другим фактором является сферическое расхождение амплитуд волны. Если мы снова обратимся к рис.4.21 и выберем, в какой точке лучше находиться – в В или С, мы предпочтем точку С. Это связано с тем, что амплитуда волны вдоль волнового фронта в точке С, которая находится дальше от точечного отверстия, чем амплитуда волны в точке В. Энергия волны затухает по закону (1/ r ^2), где r – расстояние от источника до волнового фронта; амплитуда затухает по закону (1/ r).

Следовательно, перед суммированием амплитуды нужно пересчитать, применив 1/ r.

Наконец, имеется третий фактор, который вытекает из свойства волны, вызванной вторичным источником Гюйгенса. С физической точки зрения этот фактор трудно объяснить. Тем не менее, из рис.4.25 видно, что вторичные источники Гюйгенса должны реагировать как импульс вдоль гиперболических траекторий с определенными фазовыми и частотными характеристиками. Если они располагаются близко один к другому, взаимное гашение амплитуд не происходит. Форма волны, являющейся результатом суммирования, должна быть восстановлена, как по фазе, так и по амплитуде.

В итоге перед суммированием дифрагированных волн мы должны учесть следующие три фактора:

1. 1. Наклон (или коэффициент направленности), который описывает зависимость амплитуд от угла и определяется косинусом угла между направлением распространения и вертикальной осью z.

2. 2. Сферическое расхождение, пропорциональное в случае распространения волны в 2-D пространстве и (1/ r) в случае распространения волны в 3-D пространстве.

3. 3. Формирование импульса, которое определяется 45-градусным постоянно-фазовым спектром и амплитудным спектром, пропорциональным квадратному корню из частоты для 2-D миграции. В случае 3-D миграции смещение по фазе равно 90° и амплитуда пропорциональна частоте.

Метод суммирования дифрагированных волн как метод миграции, сочетающий эти три фактора, называется миграцией Кирхгоффа. Чтобы выполнить миграцию этим методом, необходимо умножить входные данные на коэффициенты наклона и сферического расхождения. Затем нужно применить фильтр с указанными выше характеристиками и выполнить суммирование вдоль гиперболической траектории, которая определяется уравнением (4.4). Расположите результат на мигрированном разрезе на времени t = t (0), которое соответствует вершине гиперболы. На практике применение фильтра, определяемого третьим фактором и суммирование можно поменять местами. При этом точность не ухудшается, поскольку суммирование представляет собой линейный процесс, а фильтр не зависит от времени и пространства. Скорость используемая в уравнении (4.4), берется, как среднеквадратичная, которая может изменяться в латеральном направлении. Однако такое изменение скорости искажает гиперболическую форму годографа дифрагированных волн и его необходимо учитывать. Величина среднеквадратичной скорости обычно представляет собой таковую для выходной выборки времени (величина гиперболы). То, что определено с физической точки зрения в предыдущем обсуждении, может быть точно описано интегральным решением скалярного волнового уравнения. Чтобы выполнить математическую обработку методом Кирхгоффа, нужно обратиться к Berkhout (1980), Schneider (1978) и Berryhill (1979). Интегральное решение скалярного волнового уравнения дает волновое поле P_out (x, z, t) в точке разреза (x, z), которое представляет собой результат волнового поля при нулевом выносе P _in (x _in, z = 0, t), измеренного на поверхности (z = 0). Интегральное решение, используемое в миграции сейсмических данных, имеет два элемента:

где v – среднеквадратичная скорость в выходной точке (x, z); - расстояние между входной (x _in, z =0) и выходной (x, z) точками. Уравнение (4.5) может быть использовано для расчета волнового поля на любой глубине z. Чтобы получить мигрированный разрез при выходном времени t, необходимо рассчитать уравнение (4.5) при z = vt/ 2 и обратиться к принципу получения изображения, расположив амплитуды результирующего волнового поля при t = 0 на мигрированном разрезе при выходном времени t. Завершенный мигрированный разрез получается путем интегрирования [уравнение (4.5)] и задания t = 0 для каждой выходной точки. Интегрирование выполняется по поверхности измерения; в двумерном случае оно выполняется по профилю. Первый элемент пропорционален (1/ r ²), следовательно, его вклад пренебрежимо мал по сравнению со вторым элементом, который пропорционален (1/ r). На практике первый элемент обычно опускается и в миграции используется второй элемент. Производная по времени измеренного волнового поля дает смещение по фазе на 90° и аппроксимацию амплитудного спектра пилообразной функцией частоты (см. Приложение А, табл. А-1). Для 2-D миграции используется полупроводная (half-derivative) волнового поля. Это эквивалентно смещению по фазе на 45° и аппроксимации амплитудного спектра функцией, определенной как квадратный корень из частоты. Наконец, второй элемент пропорционален косинусу угла распространения (элементу направленности) и обратнопропорционален vr = v ² t (элементу сферического расхождения) в трехмерном случае. В двумерном случае элемент сферического расхождения равен (vr)^1/2

Рис.4.28 Перемещение приемной косы в опыте с портом (рис.4.21) от берега в сторону барьера параллельно береговой линии. Числа над изображениями обозначают расстояния от косы до берега.

Дата добавления: 2015-12-07