Конечноразностная миграция

Чтобы описать физическую основу конечноразностной миграции, вспомним пример с портом на рис.4.21. Мы не будем брать разрез, полученный вдоль береговой линии, который содержит гиперболический годограф дифрагированной волны, а затем сжимать его, чтобы получить мигрированный разрез на рис.4.27. В место этого мы будем следовать другой процедуре. Начнем с волнового поля, зарегистрированного вдоль береговой линии (рис.4.28а). Допустим, что барьер удален от берега на 1250м. Переместим приемную косу от берега на 250м. Начнем запись в момент удара плоской волны о барьер. Зарегистрированный разрез показан на рис.4.28b. Переместим косу на 500м от берега и получим разрез, показанный на рис.4.28с, а затем удалимся на 750м (рис.4.28d). Разрез, зарегистрированный на расстоянии 1000 м от берега, показан на рис.4.28е. При каждой регистрации получается гипербола, вершина которой приближается к нулевому времени. Действительная длина косы обозначена сплошной линией над каждым изображением. При регистрации на барьере (125м от берега) вершина гиперболы расположится на времени t = 0.

При миграции Кирхгоффа дифрагированная волна сжимается путем суммирования амплитуд с последующим размещением их на вершине. Другой подход, подразумеваемый результатом эксперимента, который показан на рис.4.28 – это использование годографа, зарегистрированного на определенном расстоянии от берега, для построения годографа, который должен получиться при приближении к источнику дифракции. Процесс останавливается, когда гипербола падает к вершине. В опыте с портом падание происходит, когда коса совпадает с барьером или, что то же самое, когда t = 0. Это называется принципом получения изображения.

Рис.4.29 Компьютерное моделирование эксперимента, показанного на рис.4.28. Здесь мы располагаем сейсмоприемниками на различных глубинах. Числа над изображениями показывают удаление приемной косы от поверхности, z = 0.

Рис.4.30 (а) Суперпозиция временных разрезов на рис.4.29; (b) удаление эффекта перемещения путем расположения с задержкой энергии на вершине гиперболы, первоначально полученной вдоль береговой линии.

Эксперимент с портом, рассмотренный выше, можно смоделировать на компьютере. Допустим, что перемещение приемной косы в сторону барьера аналогично перемещению косы от поверхности земли в сторону отражающих поверхностей. Будем считать проход в барьере эквивалентом точки (дифрагирующего объекта) на отражающей поверхности, обуславливающего появление дифрагированной волны (рис.4.29а). Начнем с волнового поля, зарегистрированного на поверхности, и будем перемещать сейсмоприемники вниз с конечными интервалами. Продолжение вниз волнового поля можно рассматривать как

эквивалентное перемещение сейсмоприемников в глубь разреза. Волновые поля, смоделированные с помощью компьютера, показаны на рис.4.29. Применяя на каждой глубине принцип получения изображения, можно изобразить волновое поле в целом. Окончательным результатом этого процесса является мигрированный разрез. Последний разрез (рис.4.29f) на глубине 1250м имеет только одно вступление на времени t = 0. Приемная коса находится на противоштормовом барьере и вступление от прохода в барьере появляется на времени t = 0. По мере удаления косы в океан (в сторону барьера) вступления дифрагированной волны происходит на более ранних временах, гипербола становится короче. Когда сейсмоприемники совпадают с барьером, на котором имеет источник в виде прохода (точки), гипербола падает в точку.

Между физическим экспериментом на рис.4.2 и смоделированным на компьютере продолжением вниз (рис.4.29) имеется одно существенное различие. Если на рис.4.28 приемная коса на каждом шаге одна и та же, то на рис.4.29 эффективная длина косы уменьшается в сторону источника (проходя в барьере). Это связано с тем, что мы начали с регистрации волнового поля на поверхности (рис.4.28а) при конечной длине косы. Зарегистрированная информация заключена в интервале между двумя лучами, показанными на рис.4.29а. По мере приближения косы к источнику эффективная длина косы, содержащая информация, уменьшается. Хотя сейсмоприемники опускаются в вертикальном направлении, энергия перемещается вниз по лучам, по которым она первоначально распространялась вверх. Чтобы связать записи, полученные на различных глубинах (рис.4.29), выполним их наложение так, как показано на рис.4.30а. Кроме того, записи можно сместить так, чтобы вершины гипербол совпали и расположились на времени, эквивалентном расстоянию от поверхности до дифрагирующего объекта (рис.4.30b). Это называется задержкой во времени (time retardation).

Еще раз обратимся к результатам компьютерного моделирования опыта с портом (рис.4.29). Предположим, что мы прекратили регистрацию на глубине 1000м перед барьером. Первоначальная гипербола на рис.4.29а, была на этой глубине частично сжата (рис.4.29е). Следовательно, продолжение вниз на глубину меньшую, чем истинная глубина источника, приводит к недостаточной миграции (undermigration). Если для миграции используются слишком низкие скорости, дифрагированные волны и отражения от наклонных поверхностей также недомигрируются. Объединив эти два случая, мы увидим, что недостаточное продолжение вниз и слишком низкие скорости дают недомигрированный разрез. Допустим, что регистрация продолжается и выходит за пределы барьера z ₃ (рис.4.21). Мы делаем вывод, что сфокусированная энергия на разрезе на этой глубине (рис.4.29f) должна распространяться через фокальную точку и превратиться в гиперболы, которые представляют собой зеркальные изображения гипербол на рис.4.29а-е. Мы выполнили продолжение вниз на большую величину, чем необходимо. Это дает избыточную миграцию (overmigration), причиной которой также являются слишком высокие скорости. Из этих наблюдений отметим, что продолжение вниз на неправильную глубину подобно продолжению вниз с неправильной скоростью (Doherty и Claerbout, 1974).

Другая важная проблема, которую необходимо учитывать, – как часто нужно рассчитать экстраполированное волновое поле. Каким должен быть шаг по глубине на рис.4.29? Это подробно рассмотрено в Разделе 4.3.2.

Метод миграции, который использует принцип продолжения вниз, называется конечноразностной миграцией (finite-difference migration). Эта методика скалярного волнового поля уравнения. Простой числовой пример иллюстрирует конечноразностной метод решения дифференциальных уравнений (Clearbout, 1985). Допустим, что сегодня у вас имеется $100. При данном годовом темпе инфляции 10%, чтобы сохранить покупательную способность на следующий год вам потребуется $110. Используя алгоритм, можно определить, какая сумма вам потребуется в будущие годы:

Оператор	Данные	Время
-1.1
1.0	х
	.
	.
	.

При данной величине 100 найдем значение в колонке «данные» величину х определяет уравнение:

(1)(х) + (-1.1)(100) = 0

(4.6)

Мы используем, двухточечный оператор и выравниваем его по колонке «данные», как оказано выше. Величина 100 экстраполируется в будущие годы.

Используя уравнение (4.6.), получаем:

-1.1
1.0	х (1.0) х + (-1.1)100 = 0, х = 110
-1.1
1.0	х (1.0) х + (-1.1)110 = 0, х = 121
-1.1
1.0	х (1.0) х + (-1.1)121 = 0, х = 133.1 и т.д.

Перемещая оператор вниз по оси времени, мы экстраполируем колонку «данные» в будущее. Уравнение (4.6) в обобщенной форме записывается как:

(1) Р (t + 1) + (-1.1) P (t) = 0

(4.7)

которое можно переписать в следующем виде:

Р (t + 1) – P (t) = (0.1) P (t)

(4.8)

где t – функция времени, а Р – экстраполируемая величина. Вместо того, чтобы определять временной интервал как единицу, мы можем определить его как произвольное приращение времени D t. Допустим, что темп инфляции равен а. В этом случае уравнение (4.8) принимает более общую форму:

P (t + D t) – P (t) = aP (t)

(4.9)

В качестве альтернативы мы можем в правой части этого уравнения использовать среднее текущей и будущей величин:

P (t + D t) – P (t) = [ P (t + D t) + P (t)]

(4.10)

Сейчас уравнения (4.9) и (4.10) могут быть приведены в формулу (4.6):

P (t + D t) + (-1 – a) P (t) = 0

(4.11)

и

(1 – a /2) P (t + D t) + (-1 – a /2) P (t) = 0

(4.12)

Используя уравнения (4.11) или (4.12), рассчитаем P (t) по данным окончательной величине:

-1 – a	P (t)	или	-1 – a /2	P (t)
	P (t + D t)		1 – a /2	P (t + D t)

Оператор, в котором коэффициент будущей величины P (t + D t) является единичным, называется явным оператором (explicit operator). Устойчивость (проблема возрастания амплитуд волны от одного шага экстраполяции к другому) конечноразностного решения с этим типом оператора представляет определенные сложности. Не явные схемы дают устойчивые результаты, поскольку осреднение происходит в правой части уравнения (4.10) – так называемая схема Кранка-Николсона (Crank-Nicolson). Для дифференциальных уравнений, используемых в алгоритмах конечноразностной миграции (например, для параболического уравнения, рассмотренного в Приложении С.2) скаляр а становится коэффициентом матрицы. Однако при использовании явных схем, обращение не требуется, т.к. будущие величины могут быть записаны в явном виде в единицах только прошлых величин.

При переопределении скалярной величины а в а?D t уравнение (4.11) перезаписывается:

(4.13)

Левая часть уравнения (4.13) – дискретное представление непрерывной производной Р по времени dP / dt. Следовательно уравнение (4.13) представляет собой конечноразностное уравнение, соответствующее следующему дифференциальному уравнению:

(4.14)

Мы вывели дифференциальное уравнение, которое описывает инфляцию денег [уравнение (4.14)]. Сейчас рассмотрим обратный анализ. Начнем с уравнения (4.14) и запишем соответствующее разностное уравнение (4.13), которое решается с помощью компьютера. Его можно записать в явной (4.11) или не явной (4.12) форме, чтобы экстраполировать текущую величину Р в будущее.

Этот пример показывает, как конечноразностные схемы могут решать дифференциальные уравнения с помощью компьютера. Скалярное волновое уравнение может быть обработано аналогичным, но более сложным образом. Сложность вызвана тем, что данное уравнение представляет собой частное дифференциальное уравнение, которое содержит вторые производные волнового поля по глубине, времени и пространственным осям. Задание алгоритма решения с помощью компьютера здесь не рассматривается. Claerbout (1976, 1985) дает подробности различных аспектов методов конечноразностной миграции.

В Приложении С.2 дается описание вывода параболической аппроксимации, соответствующей наклону 15° скалярного волнового уравнения в одном направлении [уравнение (С.39)]. Эта аппроксимация является основой для конечноразностных алгоритмов, используемых чаще всего. Уравнение (С.39) имеет вид:

(4.15)

где Q – заказывающее волновое поле; t – входное время; t - выходное время; y – координата средней точки.

Уравнение (4.15) представляет собой основу для миграции во времени, соответствующей наклону 15°. Оно выводится из дисперсионного соотношения (см. Приложение С.2) в предположении, что скорость изменяется в вертикальном направлении. Однако, на практике скоростная функция в уравнении (4.15) может изменяться в латеральном направлении при условии ее гладкости.

Уравнение (4.15) учитывает только сжатие энергии дифрагированной волны к вершине годографа и поэтому оно называется элементом дифракции (diffraction term). При значительном изменении скоростей в латеральном направлении годограф дифрагированной волны напоминает асимметричную гиперболу, вершина которой смещена по горизонтали от источника дифракции. Это горизонтальное смещение учитывается элементом тонкой линзы в уравнении (С.35). Проблема изменений скорости в латеральном направлении подробно рассмотрена в Разделе 5.1. Если такие изменения являются значительными, элементом тонкой линзы нельзя пренебрегать. Дифференциальное уравнение, которое соответствует элементу тонкой линзы в уравнении (С.35), получается при обратном преобразовании Фурье:

(4.16)

Алгоритмы миграции, которые реализуют как элемент дифракции, так и элемент тонкой линзы в уравнение (С.35), в общем случае представляют собой двухшаговые схемы, которые попеременно решают оба эти элемента. Другими словами, чтобы продвинуться на один шаг по глубине, сначала нужно применить элемент дифракции на волновом поле Q. Затем к результату расчета дифрагированной волны применяется элемент тонкой линзы. Метод миграции, который включает эффекты элемента тонкой линзы, называется миграцией по глубине, т.к. выходной разрез дается в глубинах. Миграция по глубине (Раздел 5.2) гарантируется только в том случае, если имеют место значительные изменения скорости в латеральном направлении – тогда коэффициентом элемента тонкой линзы нельзя пренебречь.

Как рассматривается в Разделе 4.3.2, на практике 15-градусная конечноразностная миграция может с достаточной точностью оперировать наклонами до 35°. Здесь представлены круто-наклонные аппроксимации к скалярному волновому уравнению приведенные к одинарному времени пробега. Уравнение для 45° и его распространение на более крутые наклоны рассматривается в Приложении С.3, а практические аспекты миграции крутых наклонов излагаются в Разделе 4.3.4. Конечноразностные алгоритмы для крутых наклонов удобнее реализовать в частотно-пространственной области, чем в пространственно-временной области.

Для решения дифференциальных уравнений требуются граничные и начальные условия. Начальным условием для миграции является зарегистрированное на поверхности волновое поле (z = 0). В миграции мы также предполагаем, что волновое поле равно 0 после максимального времени наблюдения, обычно после конечного времени зарегистрированной трассы. Затем имеются боковые границы, вне которых необходимо сделать допущение о форме волнового поля.

В координатах (x, z, t) сейсмический разрез представлен плоскостью (x, t), а мигрированный разрез – плоскостью (x, z). Как рассматривается здесь, конечноразностная миграция экстраполирует плоскость (x, t) конечными приращениями z и выводит волновое поле при t = 0 на каждом шаге (рис.4.31). Другой метод миграции, известный как обратная миграция во времени (reverse time migration) (Baysal и др., 1983), экстраполирует первоначальную нулевую плоскость (x, z) назад во времени, которая в сейсмических данных P(x, z = 0, t) исполняет функцию граничного условия (при z =0) на каждом временном шаге. На времени t = 0 эта плоскость (x, z) содержит результат миграции P (x, z, t = 0) (рис.4.32).

Оба подхода, Кирхгоффа и конечноразностной, основываются на одном и том же скалярном волновом уравнении. Они различаются только с точки зрения решения этого уравнения. Миграция Кирхгоффа основана на интегральном решении, конечноразностная миграция – на дифференциальном решении. Независимо от метода все методики миграции включают принцип получения изображения. Одно важное преимущество конечноразностных методик перед другими методами миграции состоит в их способности лучше оперировать изменениями скоростей в латеральном направлении.

Дата добавления: 2015-12-07