Задача 3.6

Получить формулу (3.6).

Решение. Из формулы (3.3) для эндоэнергетической реакции (Q < 0):

|Q | = T 1 – T 2 = M 2 – M 1,

(3.6.1)

где Т ₁= T_а + T_А и М ₁ = m_а + М_А, Т ₂ = T_b + T_B и М ₂ = m_b + М_B – суммарные кинетические энергии и суммарные энергии покоя частиц до и после реакции (3.1). Выражение (3.6.1) справедливо в любой инерциальной системе отсчета. Определим порог реакции как минимальное значение кинетической энергии (Т_а)_пор налетающей частицы а в ЛСК(частица А в ЛСК покоится!), при которой кинетические энергии образовавшихся частиц b и В равны нулю в СЦИ. Для решения задачи удобно воспользоваться релятивистским инвариантом

Е ² – p ² с ² = inv,

который сохраняется для любой изолированной системы в любой инерциальной системе отсчета. Здесь Е = М + Т и – полная энергия и суммарный импульс произвольной изолированной системы тел. Инвариант системы до реакции при пороговой энергии (Т_а)_пор в ЛСК

inv 1 = [ M 1+ (Та)пор]^2 – ,

(3.6.2)

но

+ m_а ² = [ m_а + (Т_а)_пор]²,

откуда

= + 2 m_а ·(Т_а)_пор.

Подставляя полученное выражение в (3.6.2) и выполняя необходимые преобразования, получим:

inv 1 = .

(3.6.3)

В СЦИ инвариант для частиц с энергией покоя М ₂, образовавшихся в результате эндоэнергетической реакции, будет равен

inv 2 = ,

(3.6.4)

т.к. их суммарная кинетическая энергия в СЦИ при пороговой кинетической энергии (Т_а)_пор равна нулю.

Приравнивая инварианты (3.6.3) и (3.6.4), получим

(Та)пор= (M 2^2 – M 1^2)/ 2 MА = (M 2 – M 1^2) (M 1+ M 2) / 2 MА = = (M 2 – M 1) (M 1+ M 2 + M 1 – M 1)/ 2 MА = (M 2 – M 1)[2 M 1+ + (M 2 – M 1)]/2 MА = | Q | + ,

(3.6.5)

т. к. согласно (3.6.1) (M ₂ – M ₁) = | Q |. Полученное выражение является точным и справедливо при любых скоростях налетающей частицы а. Но при | Q | < 50 МэВ второе слагаемое в (3.6.5) ничтожно мало по сравнению с первым и поэтому нерялитивистское приближение имеет вид

.

(3.6.6)

Однако второе слагаемое в (3.6.5) становится значимым при расчете пороговой энергии ядерных реакций, приводящих к рождению барионов и гиперонов.

Решим эту же задачу для нерелятивистского случая, когда .

Запишем (3.6.1) в СЦИ:

,

(3.6.7)

где верхний знак «~» указывает на принадлежность к СЦИ, а по определению. Кинетическая энергия Т ₁ частиц а и А в ЛСК и в СЦИ связаны следующим образом:

,

(3.6.8)

где

(3.6.9)

есть суммарная кинетическая энергия частиц а и А, движущихся в ЛСК со скоростью – скоростью движения СЦИ относительно ЛСК.

Согласно принципу относительности Галилея скорости частиц в ЛСК и СЦИ связаны следующим образом:

,

(3.6.10)

т. к. в ЛСК.

Используя (3.6.10), запишем закон сохранения импульса

.

(3.6.11)

Поскольку суммарный импульс частиц а и А в СЦИ равен нулю, то , и тогда из (3.6.11) скорость движения СЦИ относительно ЛСК

.

(3.6.12)

Решая систему уравнений (3.6.8), (3.6.9), (3.6.12) и учитывая, что , получим связь между Т ₁ и в нерелятивистском случае

.

(3.6.13)

Подставив из (3.6.13) в (3.6.7), получим выражение

,

(3.6.14)

которое совпадает с (3.6.6). Еще раз обращаем внимание, что выражения (3.6.6) и (3.6.14) приближенные и действительны только в нерелятивистских случаях.

Дата добавления: 2015-07-08