ЛЕКЦИЯ 5

Тема. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ. МЕТОД МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель лекции – понятие статической устойчивости и методов расчета. Знакомство с основными положениями при анализе электромеханических переходных процессов при малых возмущениях.

План лекции:

1. Основные понятия и определения

2. Характеристики мощности генераторов с различными АРВ

3. Анализ статической устойчивосчти нерегулируемой системы

Основные понятия и определения

Статическая устойчивость состояния равновесия, или устойчивость исходного установившегося режима, — это способность электрической системы возвращаться в исходное состояние (исходный режим) после малого его возмущения (отклонения режимных параметров).

В любой электрической системе установившийся режим не означает не­изменность всех его параметров. Электрическая система имеет огромное количество непрерывно меняющихся нагрузок. В связи с этим на генераторах системы появляются некоторые дополнительные, весьма малые, моменты ΔМ, уменьшающие или увеличиваю­щие моменты, действующие на валах генераторов и смещающие их роторы на неко­торые небольшие углы Δδ. Поскольку изменения скорости Δω = φ(ΔР) относитель­но синхронной весьма малы, то можно принять, что ΔМ = ΔР.

Статическая устойчивость является необходимым условием ее работоспособности. Она проверяется при проектировании, разработке устройств автоматического регулирова­ния, вводе в эксплуатацию новых элементов системы, изменении условий эксплуатации.

При решении задач анализа проверяется устойчивость заданного устано­вившегося режима, определяется предельно устойчивый режим электрической си­стемы, заданной всеми своими параметрами, оцениваются некоторые показатели качества переходного процесса.

При решении задач синтеза определяется тип системы возбуждения и его регулирования, закон регулирования, параметры системы возбуждения и регуляторов. При этом исходят из заданных требований к предельно устойчивому режиму или качеству электроэнергии в установившемся режиме (точность поддержания напряже­ния и других параметров режима).

Математическая формулировка задачи. Электрическая система при изучении переходных процессов описывается системой нелинейных дифференциальных урав­нений вида

Коэффициенты A_ij, B_ij, C_ij — действительные. Они определяются параметра­ми системы и нелинейными функциями Ф(х_i) от переменных х_i характеризующих состояние системы в каждый момент времени; F_j(t) — внешние силы, переменные во времени, отражающие изменение внешних условий системы.

При F_j(t) = F_j0 система имеет решение

X_i (t) = x_i0; dxt/dt == 0; d² x_t/dt² = 0.

Это решение соответствует состоянию равновесия, т. е. определяет параметры установившегося режима электрической системы. При изучении статической устой­чивости рассматриваются переходные процессы при условии малости отклонения всех переменных и внешних сил от состояния равновесия. Математически это усло­вие записывается так:

F_i (t) – F_j0 = f_j (0); x_i(t) – x_i0 = Δx_i.

dx_i/dt = dΔx_t/dt; d² x_t/df == d² Δx_t/dt².

Метод изучения статической устойчивости получил название устойчивости в малом или метода малых отклонений (малых колебаний). Нелинейные функции Ф(х_i), входящие в коэффициенты исходной системы уравнений, линеаризуют в точ­ке, соответствующей состоянию равновесия. Эта процедура состоит из разложения нелинейной функции в ряд Тейлора и оставления только линейных членов этого ряда. Заметим, что часто Ф(х_г) является функцией нескольких переменных, тогда

Ф (_Xi) = Ф (x_i0) - ( dФ/dx₁)_x1 Δx₁+ ( dФ/dx₂)_x2 Δx₂ +...

Проведя «линеаризацию по первому приближению», перейдем от системы не­линейных дифференциальных уравнений к линеаризованной системе уравнений:

Коэффициенты а_ij, b_ij c_ij включают в себя частные производные (dФ/dx_i)_xi0. взятые в точке исходного режима. Таким образом, эти коэффициенты зависят от ис­ходного режима, что и отражает свойства нелинейной системы.

С помощью линеаризованных уравнений изучаются переход­ные процессы — свободные (после возникновения начальных отклонений) или вынужденные (при действии внешних сил, меняющихся во время пе­реходного процесса).

Для обоснованного исследования линейных (линеаризованных) уравнений движения системы используется метод первого приближения или метод малых колебаний.

Две теоремы Ляпу­нова дали строгое обоснование уравнений первого приближения.

Теорема I утверждает, что при характеристическом уравнении первого приближения, име­ющем корни только с отрицательными вещественными частями, невозмущенное движение ус­тойчиво и притом асимптотически, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части ис­ходного уравнения.

Теорема II утверждает, что если в числе корней характеристического уравнения первого при­ближения имеются корни, вещественные части которых положительны, то невозмущенное дви­жение неустойчиво, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части исходного уравнения.

Когда характеристическое уравнение не имеет корней с положительной вещест­венной частью, но имеет хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, является особым случаем.

В особых случаях по корням характеристического уравнения линеаризованной системы нельзя сделать заключения об устойчивости или неустойчивости реальной (исходной) системы. Для получения такого заключения необходимы дополнительные исследования вида нелинейной функции (исследование членов, отброшенных при ее разложении) или привлечение к анализу физических соображений.

В более сложных случаях требуется специальное исследование поведения системы на гра­нице области устойчивости. Эта граница может быть опасной в том смысле, что при переходе ее в системе возникнут нарастающие колебания, практически означающие нарушение устойчи­вости. Граница будет безопасной, если при переходе ее возникают незатухающие и не на­растающие колебания, которые не выводят полностью систему из рабочего состояния.

Проверку границ области устойчивости и выявление ее опасных и безопасных частей можно проводить, определяя знак так называемой ляпуновской величины g. При g < О граница устой­чивости безопасна. Для построения этой величины применительно к различным критическим случаям (один нулевой корень, пара чисто мнимых корней, две пары чисто мнимых корней и т. д.) существуют правила, которые, однако, пока не нашли эффективного применения в практике исследований работы электрических систем. В этих исследованиях разделение границ области устойчивости на опасные и безопасные сравнительно просто выполняется по способу, основан­ному на построении так называемых кривых равных амплитуд автоколебаний.

Дата добавления: 2015-07-08