Вращательное движение твердого тела. Вращательным движением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого

Вращательным движением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения; центры этих окружностей лежат на этой оси.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения Аz две полуплоскости: полуплоскость I – неподвижную и полуплоскость II,врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2). Тогда положение тела в любой момент времени будет однозначно определяться взятым с соответствующим знаком углом j между этими полуплоскостями, который называется углом поворота тела. Мы будем считать угол j положительным, если он отложен отнеподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, – если по ходу часовой стрелки. Угол j всегда измеряется в радианах. Чтобы определить положение тела в любой момент времени, необходимо знать зависимость угла j от времени t, т.е.

. (2.2)

Уравнение (2.2) выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость w и угловое ускорение e.

Если за промежуток времени Dt = t ₁ – t тело совершает поворот на угол ,то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет численно равна

. (2.3)

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение w_ср, когда промежуток времени Dt стремится к нулю:

. (2.4)

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени. Равенство (2.4) показывает также, что величина w равна отношению элементарного угла поворота dj ксоответствующему промежутку времени dt. Знак w определяет направление вращения тела. Очевидно, что, когда вращение происходит против хода часовой стрелки, то w > 0, когда по ходу часовой стрелки – w < 0.

Размерность угловой скорости – радиан/время или 1 /время, так как радиан – величина безразмерная; в качестве единицы измерения обычно применяется 1 /с ().

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.3).Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и направление вращения вокруг этой оси.

Рис. 2.3

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени. Если за промежуток времени Dt = t ₁ – t угловая скорость тела изменяется на величину Dw = w ₁ – w, то среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени будет численно равно:

. (2.5)

Угловым ускорением тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение e_ср, когда промежуток времени Dt стремится к нулю, следовательно,

(2.6)

или, принимая во внимание равенство (2.4),

. (2.7)

Итак, угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения – 1 /время ²; в качестве единицы измерения обычно применяется 1 /с ² ().

Если модуль угловой скорости временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным. Очевидно, что вращение будет ускоренным, когда величины w и e имеют одинаковые знаки, и замедленным, – когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) также можно изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление вектора совпадает с направлением вектора , когда тело вращается ускоренно (рис. 2.3, а)и противоположно при замедленном вращении (рис. 2.3, б).

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения Az (рис. 2.4). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dj, то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение ds = h∙dj. Тогда скорость точки будет равна отношению ds к dt, т.е.

или

(2.8)

Скорость v в отличие от угловой скорости тела, называют еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, линейная скорость точки вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Вектор линейной скорости направлен по касательной к описываемой точкой М окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Рис. 2.4

Так как для всех точек тела w имеет в данный момент одно и то же значение, то из формулы (2.8) следует, что линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения (рис. 2.4). Для определения ускорения точки М воспользуемся формулами

, .

В нашем случае r = h. Подставив в эти выражения формулу (2.8), получим:

,

или окончательно

, (2.9)

. (2.10)

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно).

Рис. 2.5

Вектор нормального ускорения всегда направлен по радиусу к оси вращения (рис. 2.5, а) (независимо от направления вращения).

Полное ускорение точки М будет равно

или

.

Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называют равнопеременным вращением. При этом, если абсолютная величина угловой скорости увеличивается, вращение называют равноускоренным, а если уменьшается – равнозамедленным.

Составим уравнение равнопеременного вращения, полагая, что в начальный момент t ₀ = 0 начальная угловая скорость равна , а начальное значение угла поворота равно j ₀. По формуле (2.7)

,

откуда

.

Проинтегрируем это уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту t ₀ = 0 и произвольному моменту времени t:

,

,

, (2.11)

,

.

Проинтегрируем это уравнение в соответствующих пределах:

,

,

. (2.12)

Уравнение (2.12) является уравнением равнопеременного вращения тела.

Так как равнопеременное вращение происходит обычно в одном направлении, то , а , где знак плюс соответствует ускоренному вращению, а знак минус – замедленному. Учитывая это, формулам (2.11) и (2.12) можно придать более удобный для решения задач вид:

,

. (2.13)

Из формулы (2.11) для угловой скорости находим , т.е. при равнопеременном вращении абсолютное значение углового ускорения тела равно отношению изменения угловой скорости тела за некоторый промежуток времени к числовой величине этого промежутка.

Пример 4. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 20 сек он совершает 100 оборотов. Каковы его угловые скорость и ускорение по истечении 20-ти сек?

Решение.

Так как вал начинает вращаться из состояния покоя, то w ₀= 0. В этом случае уравнения (2.12) и (2.11) при j ₀= 0 имеют вид:

, (1)

. (2)

Из уравнения (1) найдем

, (3)

где (N = 100 – частота вращения вала).

Подставив в уравнение (3) числовые значения, найдем

;

.

Дата добавления: 2015-07-08