Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Роля (о корнях производной)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах отрезка равные значения , то внутри отрезка существует хотя бы одно значение , вкоторой производная обращается в нуль, т.е. .

Геометрическая интерпретация теоремы Роля:

На дуге графика функции , удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, найдется точка М, в которой касательная ТК параллельна хорде АВ и оси ОХ. Таких точек может быть и несколько.

Теорема Лагранжа (о конечном приращении функции)

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри отрезка существует хотя бы одно значение ,для которого:

Из теоремы следует формула конечных приращений:

т.е. приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой промежуточной точке интервала не приращение независимой переменой.

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций)

Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем внутри отрезка, то найдется хотя бы одна внутренняя точка , для которой:

.

Дата добавления: 2015-07-08