Проверка адекватности линейной модели 3 страница

Значения откликов[14][15], полученные в ходе реализации опытов, представлены в таблице 15.

Таблица 15

Значения откликов, полученные при выводе ортогональной модели второго порядка в эксперименте типа 2³.

№ опыта	у1	у2	у3
				21,3
				20,67
				18,33
				19,33
				22,67
				21,67
				17,33
				22,33

2.4. Проверка воспроизводимости опытов и определение дисперсии воспроизводимости.

Определим дисперсии опытов, подставляя известные значения в формулу (3):

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Определим табличное значение критерия Кохрена:

= n=15; = m-1 =3-1=2.

По таблице, расположенной в приложении 1, определяем табличное значение критерия Кохрена: =0,3346.

Проверим воспроизводимость опытов, воспользовавшись неравенством (2):

, следовательно, опыты воспроизводимы.

Дисперсию воспроизводимости определим по формуле (4):

.

2.5. Расчет коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии для ортогонального плана второго порядка определяются по формуле:

, где (15)

i – номер столбца в матрице,

– элементы i- го столбца,

- значения отклика в u -том эксперименте.

Значения получены путем суммирования возведенных в квадрат кодовых значений факторов в каждом столбце.

Для столбца получим:

.

Для столбца получим:

.

Для столбца получим:

.

Для столбца получим:

.

Для столбца получим:

.

Для столбца получим:

.

Для столбца получим:

.

Для столбца х₁ х₂ получим:

.

Для столбца х₁ х₃ получим:

.

Для столбца х₂ х₃ получим:

.

Значения для различных кодовых переменных сведены в таблицу 16.

Таблица 16

Значения для ортогонального плана второго порядка эксперимента типа 2³.

Столбец в матрице планирования	Значения для ортогонального плана второго порядка эксперимента типа 2^3
	10,9544
	4,364

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

;

Определим коэффициент :

.

2.6. Получение ортогональной модели второго порядка.

Ортогональная модель второго порядка в общем виде записывается следующим образом: .

По данным, рассчитанным в пункте 2.5 части 3, получим следующее уравнение регрессии: .

Для того чтобы перейти к обычной форме записи уравнения регрессии, необходимо найти величину

, где (14)

- величина, необходимая для построения ортогональных планов второго порядка, ;

- коэффициенты регрессии при квадратных членах уравнения в модели.

Рассчитаем величину :

.

Перейдем к обычной форме записи уравнения регрессии: .

2.7. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Определим 5% точку распределения Стьюдента. По таблице, представленной в приложении 2, определяем 5% точку распределения Стьюдента с степенями свободы: .

Определяем : .

Значение коэффициента регрессии не должно быть меньше 1,03.

2.8. Получение ортогональной модели второго порядка с учетом значимости коэффициентов регрессии.

Из технологических соображений примем значимыми коэффициенты, значения которых по модулю не ниже 0,2. С учетом значимости коэффициентов регрессии получим квадратичную ортогональную модель: .

2.9.Проверка адекватности квадратичной ортогональной модели.

Для установления значения дисперсии адекватности необходимо получить расчетные значения откликов. Расчетные значения откликов получаются путем подстановки кодовых значений факторов в модель (в уравнение регрессии).

Кодовые значения факторов представлены в таблице 17.

Таблица 17

Кодовые значения факторов

№ опыта
	-	-	-	+	+	+	+
	+	-	-	-	+	+	+
	-	+	-	+	-	+	+
	+	+	-	-	-	+	+
	-	-	+	-	-	+	+
	+	-	+	+	-	+	+
	-	+	+	-	+	+	+
	+	+	+	+	+	+	+
	-1,215					1,476
	+1,215					1,476
		-1,215					1,476
		+1,215					1,476
			-1,215
			+1,215

По полученной ранее модели рассчитаем значения откликов:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Результаты расчета, необходимые для установления значения дисперсии адекватности квадратичной ортогональной модели,[17] сведены в таблицу 18.

Таблица 18

Результаты расчета, необходимые для установления значения дисперсии адекватности квадратичной ортогональной модели

№ опыта
	21,3	-	-	-	+	+	+	+	21,18	0,0144
	20,67	+	-	-	-	+	+	+	18,72	3,8025
		-	+	-	+	-	+	+	21,9	0,01
		+	+	-	-	-	+	+	19,44	0,3136
	18,33	-	-	+	-	-	+	+	18,32	0,0001
		+	-	+	+	-	+	+	18,6	0,16
	19,33	-	+	+	-	+	+	+	20,78	2,1025
	22,67	+	+	+	+	+	+	+	21,64	1,0609
	21,67	-1,215					1,476		20,51	1,3456
		+1,215					1,476		19,54	6,4516
	17,33		-1,215					1,476	19,22	3,5721
			+1,215					1,476	21,5	0,25
				-1,215					21,12	1,2544
				+1,215					20,35	0,4225
	22,33								20,73	2,56

Дисперсия адекватности:

.

Значение критерия Фишера:

Проверка адекватности линейной модели:

.

Ортогональная квадратичная модель адекватна.

Часть 4

Рототабельные планы второго порядка

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей 18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм² и 800 мм². Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. Движение по градиенту позволило выявить экстремум поверхности отклика: х₁=24, х₂=554, х₃=760, y=21. Необходимо описать поверхность отклика вблизи точки экстремума с применением рототабельного планирования.

Решение:

Как было показано в части 3, линейная модель, представляющая эксперимент в точке экстремума неадекватна. В точке экстремума необходимо планирование второго порядка.

В отличие от ортогональных планов, рототабельные планы дают возможность предсказать значение функции отклика с дисперсией, одинаковой на разных расстояниях от центра плана. Эта особенность рототабельных планов служит критерием для оценки их качества.

С точки зрения эффективности применения, разница между ортогональным и рототабельным планированием не значительна, поэтому модель, получаемая рототабельным планированием должна мало отличаться от модели, полученной при помощи ортогональных планов.

1. Вывод рототабельной модели второй степени в области экстремума.

1.1. Наращивание точек.

Примем опыты, результаты которых представлены в таблице 10 части 3, в качестве ядра рототабельного плана второго порядка.

Чтобы достроить этот план до плана второго порядка, необходимо поставить опыты на некотором расстоянии d от центра, в так называемых, звездных точках и на нулевом уровне.

Нулевой уровень принимается таким же, как при движении по градиенту в найденной точке оптимума[18].

Расстояние, на котором устанавливаются звездные точки или расстояние d [19] от центра плана при полном факторном рототабельном эксперименте можно определить по формуле:

, где (16)

к – количество факторов, участвующих в эксперименте.

Количество звездных точек, а также точек на нулевом уровне при рототабельном планировании различно в зависимости от типа эксперимента.

Количество звездных точек и точек на нулевом уровне для эксперимента типа 2³ представлено в таблице 19.

Таблица 19

Количество звездных точек и точек на нулевом уровне для эксперимента типа 2³

Число факторов к	Ядро плана	Число точек	Величина плеча d
В ядре плана	Звездные	На нулевом уровне	Общее
	2^3

Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках плана представлены в таблице 19.

Таблица 19

Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках при рототабельном планировании

Уровень факторов	х1	х2	х3
Нулевая точка
Интервал варьирования
Нижний уровень
Верхний уровень
Звездная точка -d	18,6
Звездная точка +d	31,4[20]

1.2. Составление плана эксперимента.

Условия опытов для нахождения рототабельной модели второго порядка в эксперименте типа 2³ представлены в таблице 20.

Таблица 20

Условия опытов для нахождения рототабельной модели второго порядка в эксперименте типа 2³

№ опыта	х0	х1	х2	х3				х1 х2	х1 х3	х2 х3
Планирование типа 2^3
	+1	-1	-1	-1		+	+	+1	+1	+1
	+1	+1	-1	-1	+	+	+	-1	-1	+1
	+1	-1	+1	-1	+	+	+	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	-1	+	+	+	+1	-1	-1
	+1	-1	-1	+1	+	+	+	+1	-1	-1
	+1	+1	-1	+1	+	+	+	-1	+1	-1
	+1	-1	+1	+1	+	+	+	-1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1	+	+	+	+1	+1	+1
Звездные точки
	+1	-1,682
	+1	+1,682			2,828
	+1		-1,682
	+1		+1,682			2,828
	+1			-1,682
	+1			+1,682			2,828
Нулевая точка
	+1
	+1
	+1
	+1
	+1
	+1

Дата добавления: 2015-11-04