Проверка адекватности линейной модели 2 страница

, где (12)

– выбранное значение нового интервала для фактора, имеющего максимальное значение произведения ;

- округленное значение величины нового интервала для каждого фактора.

Во второй части таблицы указываются:

- номера опытов (тип эксперимента соответствует типу при выводе линейной модели);

- значения факторов, полученные путем алгебраического сложения нулевого уровня с новым (рассчитанным или установленным) интервалом варьирования;

- значения откликов с учетом дублирования (в данном случае три серии опытов);

- среднее значение отклика по результатам трех серий опытов.

Таблица 8

Расчеты, необходимые при движении по градиенту

Интервал варьирования и уровни факторов	Вид металла х1	Площадь поверхности образцов х2	Усилие, развиваемое разрывной машиной х3
Нулевой уровень
Интервал варьирования
Коэффициент регрессии	1,96	1,96	1,21
Значение	11,76
	0,097	0,81
	1,94	16,2
	2,0	16,0
Реализация эксперимента
№ опыта	х1	х2	х3	у1	у2	у3
				-	-	-	-
				-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-

Как видно из таблицы 8, реализовать в полной мере данный эксперимент невозможно, поскольку максимальное количество примесей в металле составляет 26%, в то время как по данным расчетам требуется, чтобы уже с третьего опыта в эксперименте принимал участие металл с содержанием в нем примесей 28%.

Следовательно, необходимо пересмотреть интервал варьирования для фактора х₃ и пересчитать интервалы варьирования для факторов х₁ и х₂.

Откорректированные расчеты, необходимые при движении по градиенту, сведены в таблицу 9.

Таблица 9

Откорректированные расчеты, необходимые

при движении по градиенту

Интервал варьирования и уровни факторов	Вид металла х1	Площадь поверхности образцов х2	Усилие, развиваемое разрывной машиной х3
Нулевой уровень
Интервал варьирования
Коэффициент регрессии	1,96	1,96	1,21
Значение	11,76
	0,097	0,81
	0,97	8,1
Реализация эксперимента
№ опыта	х1	х2	х3	у1	у2	у3
2	24	554	760	21	22	20	21
							16,7
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-			-	-	-	-

Как видно из таблицы 9, вследствие отсутствия металла, содержащего более 26% примесей, возможно проведение только 4 опытов. Однако реализация эксперимента, состоящего из 4 опытов, позволила определить точку нахождения оптимума.

Поскольку в данном эксперименте наилучшим результатом отклика считается его максимальное значение (время до полного разрушения образца, выраженное в секундах), точка оптимума наблюдается во втором опыте эксперимента при значении отклика y=21 и значениях факторов х₁=24; х₂=554; х₃=760.

Дальнейшее описание эксперимента следует проводить в точке оптимума.

Часть 3

Ортогональные планы второго порядка

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей 18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм² и 800 мм². Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. Движение по градиенту позволило выявить экстремум поверхности отклика: х₁=24, х₂=554, х₃=760, y=21. Необходимо описать поверхность отклика вблизи точки экстремума с применением ортогонального планирования.

Решение:

Как правило, вблизи точки экстремума поверхность функции отклика имеет значительную кривизну и не может быть адекватно описана ни при помощи линейной модели, ни при помощи неполного квадратного уравнения.

В этих случаях, руководствуясь идеей шагового эксперимента, необходимо попытаться описать исследуемую поверхность отклика полным уравнением второй степени.

1. Вывод линейной модели в области экстремума.

1.1. Составление плана эксперимента и его реализация [10].

План эксперимента, проводимого в точке экстремума, и непосредственная его реализация, представлены в таблице 10[11].

Таблица 10

План и реализация эксперимента в точке экстремума

Интервал варьирования и уровни факторов	Вид металла х1	Площадь поверхности образцов х2	Усилие, развиваемое разрывной машиной х3
Нулевой уровень
Интервал варьирования
Нижний уровень
Верхний уровень
Реализация эксперимента
№ опыта	х1	х2	х3	у1	у2	у3
	-	-	-				23,6
	+	-	-
	-	+	-				18,7
	+	+	-				23,3
	-	-	+				18,7
	+	-	+
	-	+	+				16,7
	+	+	+

1.2. Проверка воспроизводимости опытов и определение дисперсии воспроизводимости.

Значения дисперсий опытов:

;

;

;

;

;

;

;

.

Табличный критерий Кохрена: =0,5157.

Воспроизводимость опытов:

, опыты воспроизводимы.

Дисперсия воспроизводимости:

.

1.3. Расчет коэффициентов регрессии.

Получены следующие коэффициенты:

;

;

;

;

;

;

.

1.4. Получение линейной модели.

Получена линейная модель: .

1.5. Установление значимости коэффициентов регрессии.

; .

Значимые коэффициенты:

;

;

;

.

1.6. Получение линейной модели с учетом значимости коэффициентов регрессии.

Получена следующая модель с учетом значимости коэффициентов регрессии: .

1.7. Проверка адекватности линейной модели.

Результаты расчетов, необходимые для определения дисперсии адекватности, сведены в таблицу 11.

Таблица 11

Результаты расчета, необходимые для определения

дисперсии адекватности

№ опыта
	23,6	-	-	+	-	23,2	0,16
		-	-	-	+	21,4	2,56
	18,7	+	-	+	+	18,75	0,0025
	23,3	+	-	-	-	22,9	0,16
	18,7	-	+	-	+	17,95	0,5625
		-	+	+	-	17,4	0,16
	16,7	+	+	-	-	17,1	0,16
		+	+	+	+	12,95	0,0025

Дисперсия адекватности:

.

Значение критерия Фишера:

Проверка адекватности линейной модели:

.

Линейная модель неадекватна.

Как было отмечено ранее, в точке экстремума целесообразно использовать планирование второго порядка.

2. Вывод ортогональной модели второй степени в области экстремума.

2.1. Наращивание точек.

Примем опыты, результаты которых представлены в таблице 10, в качестве ядра ортогонального плана второго порядка. Чтобы достроить этот план до плана второго порядка, необходимо поставить опыты на некотором расстоянии d [12] от центра, в так называемых, звездных точках и на нулевом уровне.

Нулевой уровень принимается таким же, как при движении по градиенту в найденной точке оптимума.

Звездные точки или расстояние d от центра плана устанавливаются из условия ортогональности плана, так, чтобы скалярные произведения векторов-столбцов в матрице независимых переменных были равны 0.

, где (13)

, где (14)

к – количество факторов, участвующих в эксперименте,

n – число опытов в эксперименте (без дублирований).

Количество звездных точек, а также точек на нулевом уровне при ортогональном планировании различно в зависимости от типа эксперимента.

Количество звездных точек и точек на нулевом уровне для ортогонального эксперимента типа 2³ представлено в таблице 12.

Таблица 12

Количество звездных точек и точек на нулевом уровне для ортогонального эксперимента типа 2³

Число факторов к	Ядро плана	Число точек	Величина плеча d
В ядре плана	Звездные	На нулевом уровне	Общее
	2^3					.

Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках плана представлены в таблице 13.

Таблица 13

Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках

Уровень факторов	х1	х2	х3
Нулевая точка
Интервал варьирования
Нижний уровень
Верхний уровень
Звездная точка -d
Звездная точка +d	28[13]

2.2. Составление плана эксперимента.

Условия опытов для нахождения ортогональной модели второго порядка в эксперименте типа 2³ представлены в таблице 14.

Таблица 14

Условия опытов для нахождения ортогональной модели второго порядка в эксперименте типа 2³

№ опыта	х0	х1	х2	х3				х1 х2	х1 х3	х2 х3
Планирование типа 2^3
	+1	-1	-1	-1				+1	+1	+1
	+1	+1	-1	-1				-1	-1	+1
	+1	-1	+1	-1				-1	+1	-1
	+1	+1	+1	-1				+1	-1	-1
	+1	-1	-1	+1				+1	-1	-1
	+1	+1	-1	+1				-1	+1	-1
	+1	-1	+1	+1				-1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1				+1	+1	+1
Звездные точки
	+1	-1,215
	+1	+1,215
	+1		-1,215
	+1		+1,215
	+1			-1,215
	+1			+1,215
Нулевая точка
	+1

2.3. Реализация эксперимента.

Дата добавления: 2015-11-04