Проверка адекватности линейной модели 1 страница

Часть 1

Проверка адекватности линейной модели

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей 18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм² и 800 мм². Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. Необходимо установить время до полного разрушения образов (в секундах).

Решение:

1. Определение типа эксперимента.

В постановке эксперимента задействованы 3 фактора: вид металла (% примесей), площадь поверхности образцов и усилие, развиваемое разрывной машиной. Каждый из перечисленных факторов варьируется на двух уровнях. Следовательно, тип эксперимента 2³, где 2 – количество уровней факторов, 3 – количество факторов.

2. Определение уровней факторов и их интервалов варьирования.

Определение уровней факторов и их интервалов варьирования происходит следующим образом:

- нулевой уровень устанавливается как среднее арифметическое уровней факторов;

- интервал варьирования выбирается произвольно так, чтобы его значение не было слишком большим и не было слишком маленьким;

- нижний уровень фактора устанавливается как разность между нулевым уровнем фактора и интервалом варьирования;

- верхний уровень фактора образовывается как сумма нулевого уровня фактора и интервала варьирования.

Уровни факторов и их интервалы варьирования представлены в таблице 1.

Таблица 1

Уровни факторов и интервалы варьирования

Интервал варьирования и уровни факторов	Вид металла х1	Площадь поверхности образцов х2	Усилие, развиваемое разрывной машиной х3
Нулевой уровень
Интервал варьирования
Нижний уровень
Верхний уровень

3. Кодирование уровней факторов.

Кодовые значения уровней факторов определяются по формуле:

, где (1)

- натуральное значение фактора;

– значение i -го фактора на нулевом уровне;

- интервал варьирования.

Для фактора х₁ (вид металла) получим:

;

.

Для фактора х₂ (площадь поверхности образцов) получим:

;

.

Для фактора х₃ (усилие, развиваемое разрывной машиной) получим:

;

.

4. Составление матрицы плана эксперимента [1].

Для постановки эксперимента данного типа необходимо провести n= 2³=8 опытов. Для фактора х₁ кодовые значения -1 и +1 чередуются в каждом опыте. Для фактора х₂ кодовые значения -1 и +1 чередуются через два опыта. Для фактора х₃ кодовые значения -1 и +1 чередуются через четыре опыта. Таким образом, обеспечивается уникальность (неповторяемость) набора значений факторов в каждом опыте.

Матрица планирования для данного типа эксперимента представлена в таблице 2.

Таблица 2

Матрица планирования эксперимента

№ опыта	х1	х2	х3
	-1	-1	-1
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	+1

5. Рандомизация опытов.

Рандомизация опытов необходима для того, чтобы внести элемент случайности в процесс влияния неучтенных в ходе проведения эксперимента факторов. Это необходимо для обоснованного использования аппарата математической статистики.

С использованием таблиц случайных чисел получили следующую последовательность проведения опытов: 8, 2, 1, 4, 6, 5, 3, 7.

6. Дублирование опытов.

Дублирование опытов проводится с целью сглаживания случайных погрешностей.

Продублируем каждый опыт дважды. С использованием таблиц случайных чисел получили следующие последовательности проведения опытов:

а) для первого дублирования: 5, 4, 6, 8, 1, 3, 7, 2;

б) для второго дублирования: 3, 7, 5, 1, 4, 6, 2, 8.

7. Реализация эксперимента.

В ходе непосредственного проведения эксперимента получили значения откликов, которые представлены в таблице 3. Значения откликов, обозначенные переменной y, представляют собой время, выраженное в секундах до полного разрушения образцов.

Таблица 3

Значения откликов

№ опыта	х1	х2	х3	у
	+1	+1	+1
	+1	-1	-1
	-1	-1	-1
	+1	+1	-1
	+1	-1	+1
	-1	-1	+1
	-1	+1	-1
	-1	+1	+1
Первое дублирование опытов
	-1	-1	+1
	+1	+1	-1
	+1	-1	+1
	+1	+1	+1
	-1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	+1	-1	-1
Второе дублирование опытов
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	-1	-1	+1
	-1	-1	-1
	+1	+1	-1
	+1	-1	+1
	+1	-1	-1
	+1	+1	+1

8. Проверка воспроизводимости опытов.

Воспроизводимость опытов оценивается по критерию Кохрена:

, где (2)

где (3)

- дисперсия, характеризующая разброс результатов опыта;

р – 1,2, … m – число параллельных опытов;

– максимальная из дисперсий;

0,05 – 5% уровень значимости;

= n – число независимых оценок дисперсий;

= m-1 – число степеней свободы каждой оценки;

n – количество опытов в эксперименте (без учета дублирования).

8.1. Определение среднего значения отклика в каждом опыте из трех серий.

Результаты определения среднего значения отклика сведены в таблицу 4.

Таблица 4

Результаты расчета среднего значения отклика

по трем сериям опытов[2]

№ опыта	у1	у2	у3
				9,33
				15,67
				12,33
				14,33

8.2. Определение дисперсии опытов [3].

Подставим известные значения в формулу (3), получим:

;

;

;

;

;

;

;

.

8.3. Определение табличного критерия Кохрена.

= n=8;

= m-1 =3-1=2.

По таблице, расположенной в приложении 1, определяем табличный критерий Кохрена: =0,5157.

8.4. Проверка воспроизводимость опытов.

Воспроизводимость опытов определим по неравенству (2):

, следовательно, опыты воспроизводимы.

9. Определение дисперсии воспроизводимости.

Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле:

. (4)

.

10. Определение коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии определяются по формулам:

; (5)

; (6)

где (7)

– кодовые значения переменных в каждом опыте.

10.1. Составление расширенной матрицы планирования эксперимента.

Для нахождения коэффициентов регрессии составим расширенную матрицу планирования, внеся в него дополнительные столбцы с данными, позволяющими оценить совместное влияние факторов на значение величины отклика (таблица 5).

Таблица 5

Расширенная матрица планирования эксперимента[4]

№ опыта	х1	х2	х3	х1 х2	х1 х3	х2 х3	х1х2 х3
	-	-	-	+	+	+	-	9,33
	+	-	-	-	-	+	+
	-	+	-	-	+	-	+
	+	+	-	+	-	-	-	15,67
	-	-	+	+	-	-	+	12,33
	+	-	+	-	+	-	-	14,33
	-	+	+	-	-	+	-
	+	+	+	+	+	+	+

10.2. Расчет коэффициентов регрессии.

Подставляя известные значения в формулы (5), (6), (7), получим:

;

;

;

;

;

;

;

11. Получение линейной модели.

В общем виде линейная модель эксперимента типа 2³ выглядит следующим образом: .

С учетом найденных коэффициентов регрессии линейная модель будет иметь вид: .

Данное уравнение позволит получать значения отклика при любых различных значениях факторов из заданного диапазона.

12. Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится при помощи неравенства:

, где (8)

- 5% точка распределения Стьюдента с степенями свободы.

12.1. Определение 5% точки распределения Стьюдента.

По таблице, представленной в приложении 2, определяем 5% точку распределения Стьюдента с степенями свободы: .

12.2. Определение величины .

Определяем : .

Согласно формуле (8), значения коэффициентов регрессии не должно быть меньше 1,7.

Таким образом, значимы следующие коэффициенты регрессии:

;

.

Остальные коэффициенты регрессии при подсчете значений отклика на результат вычислений не будут оказывать существенного влияния. Самым значимым фактором в данном эксперименте является второй фактор – площадь поверхности образцов.

13. Получение линейной модели с учетом значимости коэффициентов регрессии.

С учетом значимости коэффициентов регрессии получим следующую линейную модель: .

При помощи полученного уравнения относительно точно можно представить исследуемый эксперимент.

14. Проверка адекватности линейной модели [6].

Проверка адекватности линейной модели ведется при помощи критерия Фишера в соответствии с неравенством:

, где (9)

, где (10)

– табличное значение критерия Фишера при 5% уровне значимости;

к – общее число повторений опытов(основной+дублирование);

= n-k-1 – число степеней свободы дисперсии адекватности;

m-1=3-1=2 – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

14.1. Расчет дисперсии адекватности.

Значение приведено в таблицах 4 или 5.

Значение получается на основании уравнения регрессии, полученного с учетом значимости коэффициентов регрессии , путем подстановки кодового значения , соответствующего номеру опыта.

;

.

Результаты расчета, необходимые для определения дисперсии адекватности, сведены в таблицу 6.

Таблица 6

Результаты расчета, необходимые для определения

дисперсии адекватности

№ опыта		х2
	9,33	-	11,75	5,86
		-	11,75	0,56
		+	15,67	2,79
	15,67	+	15,67
	12,33	-	11,75	0,34
	14,33	-	11,75	6,66
		+	15,67	2,79
		+	15,67	11,1

Тогда дисперсия адекватности будет: .

14.2. Установление табличного значения критерия Фишера.

= 8-3-1=4;

3-1=2.

По таблице, представленной в приложении 3, определяем табличное значение критерия Фишера:

14.3. Проверка адекватности линейной модели.

Подставляя ранее установленные значения в неравенство (9), получим:

.

Линейная модель адекватна.

Часть 2

Расчет серии опытов при движении по градиенту

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей 18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм² и 800 мм². Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. При постановке полного факторного эксперимента получены следующие значения откликов[7] (таблица 7):

Таблица 7

Результаты эксперимента при получении линейной модели

Интервал варьирования и уровни факторов	Вид металла х1	Площадь поверхности образцов х2	Усилие, развиваемое разрывной машиной х3
Нулевой уровень
Интервал варьирования
Нижний уровень
Верхний уровень
Реализация эксперимента
№ опыта	х1	х2	х3
	-	-	-	9,33
	+	-	-
	-	+	-
	+	+	-	15,67
	-	-	+	12,33
	+	-	+	14,33
	-	+	+
	+	+	+

По результатам эксперимента получена адекватная линейная модель: .

Необходимо совершить движение по градиенту в поисках оптимума. Наилучшим результатом отклика является его максимальное значение.

Решение:

1. Анализ линейной модели.

Линейная модель, полученная в части 1, не дает полного представления об эксперименте, поскольку содержит только один фактор, влияющий на значение отклика.

Из технологических соображений при движении по градиенту примем линейную модель с коэффициентами регрессии, значения которых не менее 1,21. Таким образом, получим предполагаемую линейную модель[8] эксперимента: .

2. Оформление таблицы расчетов, необходимых при движении по градиенту.

Расчеты, необходимые при движении по градиенту, сведены в таблицу 8. Таблица 8 состоит из двух частей.

В первой части таблицы указываются:

- нулевые уровни факторов, такие же, как при постановке эксперимента при выводе линейной модели;

- интервалы варьирования уровней факторов, такие же, как при постановке эксперимента при выводе линейной модели ;

- коэффициенты регрессии, стоящие в предполагаемой линейной модели[9], соответствующие уровням факторов ;

- значения, соответствующие произведению интервала варьирования фактора на соответствующий коэффициент регрессии ;

- коэффициент величина которого рассчитывается по формуле:

, где (11)

– максимальное значение данного произведения;

- величина нового интервала варьирования Для фактора, имеющего максимальное значение произведения , величина нового интервала устанавливается произвольно. Для остальных факторов величина расчитывается по формуле:

Дата добавления: 2015-11-04