Кафедра высшей математики 5 страница

1 Решить уравнение

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x, – 3, 2), =(7, 9, – 6), =(0, 5, 0), =(1, 2, – 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (4, – 1, 3), A₂ (– 2, 1, 0), A₃ (0, – 5, 1), A₄ (3, 2, – 6). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 1; – 3), B (– 3; 0), C (– 6; – 5). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти уравнение перпендикуляров к прямой 3x + 5y – 15 = 0, проведённых через точки пересечения данной прямой с осями координат.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 9x² + 25y² + 18x – 100y – 116 = 0; б) y² – 4x + 2y + 1 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой разность расстояний от точек A (2; – 4) и B (– 4; – 4) равна a = 2. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (2; 1; 4), B (3; 5; – 2), C (– 7; – 3; 2), D (– 3; 1; 8) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Центр дистанционного и интенсивного обучения

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 20

1. Доказать тождество:

.

2. Найти

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(– 1, x, 4), =(1, 8, – 4), =(0, 0, 3), =(– 4, 3, 2). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, – 1, 1), A₂ (– 2, 0, 3), A₃ (2, 1, – 1), A₄ (2, – 2, – 4). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (2; – 1), B (0; 3), C (4; 5). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Даны уравнения сторон четырёхугольника: x – y = 0, x + 3y = 0, x – y – 4 = 0, 3x + y – 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² – 25y² + 32x + 50y – 409 = 0; б) x² + y² + 8x – 4y + 4 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой разность расстояний от точек A (1; 2) и B (5; 2) равна a = . Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 1; – 5; 2), B (– 6; 0; – 3), C (3; 6; – 3), D (10; – 8; –7) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 21

1. Вычислить алгебраическое дополнение А₂₂ определителя

.

2. Найти

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(4, 5, x), =(– 8,– 10, 3), =(5, 0, 0), =(1, – 1, 2). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 2, 0), A₂ (1, – 1, 2), A₃ (0, 1, – 1), A₄ (– 3, 0, 1). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 1), B (3; – 1), C (– 1; – 5). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Составить уравнения медианы CM и высоты CK треугольника ABC, если A (4; – 2), B (4; 0), C (5; 0).

15. Уравнения линий второго порядка

а) 36x² + 36y² – 36x – 24y – 23 = 0; б) 2x² – 4x + 2y – 3 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой разность расстояний от точек A (0; 3) и B (6; 3) равна a = 4. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (0; – 1; – 1), B (– 2; 3; 5), C (1; – 5; – 9), D (– 4; –13; 6) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 22

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x,– 5, 2), =(4,– 20, 8), =(0,– 2, 0), =(1,– 2, 0). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 0, 2), A₂ (1, 2, – 1), A₃ (2, 2, 1), A₄ (2, 1, 0). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (4; 1), B (2; – 1), C (6; 0). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Через точку P (4; 2) провести прямую:

а) отсекающую равные отрезки на осях координат;

б) параллельную оси Ox;

в) параллельную оси Oy.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² + 25y² – 32x + 50y – 359 = 0; б) y² + x + 4y – 7 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой разность расстояний от точек A (1; – 3) и B (1; 5) равна a = . Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (5; 2; 0), B (2; 5; 0), C (1; 2; 4), D (– 3; – 6; – 8) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 23

1. Решить уравнение

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(1, x, 4), =(– 3, 5,– 12), =(0, 0,– 1), =(2, 3,– 3). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

Дата добавления: 2015-08-29