Кафедра высшей математики 2 страница

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (2, 1, 4), A₂ (– 1, 5, – 2), A₃ (– 7, – 3, 2), A₄ (– 6, – 3, 6). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (0; 2), B (– 2; – 2), C (1; 1). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A (1; 6) и точку пересечения прямых 2x – y = 5 и x + y = 1.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 25x² + 4y² – 50x + 16y – 59 = 0; б) x² + y² + 2x – 6y + 1 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой находиться вдвое ближе к точке A (6; – 2), чем к точке B (0; – 2). Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; 2; 0), B (1; – 1; 2), C (0; 1; –1), D (2; – 1; 4) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 6

1. Вычислить определитель разложением по второй строке:

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы = (10, 5, x), =(– 2, – 1, 4), =(0, 1, – 4), =(3, – 1, 3). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (0, – 1, – 1), A₂ (– 2, 3, 5), A₃ (1, – 5, – 9), A₄ (– 1, – 3, 3). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 2; 0), B (2; 4), C (4; 2). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Доказать, что четырёхугольник ABCD – трапеция, если A (3; 6), B (5; 2), C (– 1; – 3), D (– 5; 5). Записать уравнения диагоналей.

15. Уравнения линий второго порядка

а) – 9x² + 4y² – 72x – 8y – 176 = 0; б) x² + 2x + 2y + 1 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A (3; 3), чем к точке

B (– 6; 0). Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; 0; 2), B (1; 2; – 1), C (2; – 2; 1), D (– 5; – 9; 1) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 7

1. Решить уравнение

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы = (x, 4, – 14), =(8, 2, – 7), =(– 1, 0, 5), =(– 4, 2, 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (5, 2, 0), A₂ (2, 5, 0), A₃ (1, 2, 4), A₄ (– 1, 1, 1). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 3), B (3; 5), C (5; – 3). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A (4; 1) перпендикулярно к прямой BC, если B (3; 1), C (5; 4).

15. Уравнения линий второго порядка

а) 4x² + 9y² – 16x – 18y – 11 = 0; б) y² – 3x – 2y + 1 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (3; 1) и прямой L: x + 2 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; 2; – 3), B (1; 0; 1), C (– 2; – 1; 6), D (3; – 2; – 9) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 8

1. Вычислить алгебраическое дополнение А₁₄ определителя

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(15, x, 6), =(– 5, 4,– 2), =(– 2, 4, 0), =(1, 7, 2). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (2, – 1, – 2), A₂ (1, 2, 1), A₃ (5, 0, – 6), A₄ (– 10, 9, – 7). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 2; 4), B (2; 2), C (0; – 2). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A (2; 1) параллельно прямой MN, если M (4; – 2), N (2; – 8).

15. Уравнения линий второго порядка

а) – 25x² + 4y² + 50x + 16y – 109 = 0; б) x² + y² – 4x – 2y – 11 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (0; 1) и прямой L: y – 4 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (3; 10; – 1), B (– 2; 3; – 5), C (– 6; 0; – 3), D (– 6; 7; –10) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 9

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(3, – 2, x), =(9, – 6, 4), =(6, – 3, 1), =(1, 4, – 5). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (– 2, 0, – 4), A₂ (– 1, 7, 1), A₃ (4, – 8, – 4), A₄ (1, – 4, 6). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(– 2; 4), B (3; 2), C (5; – 6). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти точку, симметричную точке M (2; – 3) относительно прямой x – 2y + 3 = 0.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 25x² + 9y² + 100x – 54y – 44 = 0; б) x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (2; 2) и прямой L: x – 6 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 1; 2; 4), B (– 1; – 2; – 4), C (3; 0; – 1), D (– 2; 3; 5) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 10

1. Вычислить определитель матриц А и А^Т, где

.

Дата добавления: 2015-08-29