Кафедра высшей математики 3 страница

2. Найти

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x, – 1, 5), =(2, – 4, 20), =(– 4, 0, 5), =(1, 1,– 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (14, 4, 5), A₂ (– 5, – 3, 2), A₃ (– 2, – 6, – 3), A₄ (– 2, 2, 1). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 2; 1), B (– 4; 3), C (0; 5). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти точку O пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, если A (– 1; – 3), B (3; 5), C (5; 2), D (3; – 5).

15. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² – 9y² + 64x + 36y – 116 = 0; б) x² – 2x – 6y + 1 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (4; 0) и прямой L: y + 2 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (0; – 3; 1), B (– 4; 1; 2), C (2; – 1; 5), D (– 3; 4; – 5) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 11

1. Решить уравнение

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(6, x, – 2), =(3, 7, – 1), =(– 1, 6, 0), =(3, – 2, 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 2, 0), A₂ (3, 0, – 3), A₃ (5, 2, 6), A₄ (8, 4, – 9). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 0), B (3; 2), C (0; – 4). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Записать уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку пересечения прямых 2x – y + 5 = 0 и 4x + 5y + 8 = 0.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 4x² + 25y² – 32x + 50y – 11 = 0; б) x² + y² + 4x – 4y – 1 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (–2;6) и прямой L: x + 4 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; 3; 0), B (4; – 1; 2), C (3; 0; 1), D (4; 3; 0) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 12

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы (3, 5, x), (– 6, – 10, 4), (0, 3,– 2), (– 1, 5, 2). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (2, – 1, 2), A₂ (1, 2, – 1), A₃ (3, 2, 1), A₄ (– 4, 2, 3). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 2; 4), B (– 4; 0), C (2; 4). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. В треугольнике ABC известны уравнения стороны AB: 4x + y = 12, его высот BH: 5x – 4y = 12 и AM: x + y = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника ABC.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 9x² – 16y² – 54x – 32y – 79 = 0; б) x² + y² + 6x – 4y + 4 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (1;–3) и прямой L: y – 5 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 2; – 1; – 1), B (0; 3; 2), C (3; 1; 4), D (0; 0; – 2) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 13

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x,– 8, 4), =(3,– 2, 1), =(– 4, 0, 4), =(2, 1, 4). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 1, 2), A₂ (– 1, 1, 3), A₃ (2, – 2, 4), A₄ (– 1, 0, – 2). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 3; 0), B (1; – 2), C (– 2; – 4). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Даны две вершины треугольника ABC: A (– 6; 2), B (2; – 2) и точка пересечения его высот H(1; 2). Найти координаты точки M пересечения стороны AC и высоты BH.

152. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² + 25y² + 32x – 50y – 359 = 0; б) x² + 6x – 2y + 9 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек A (1; 1) и B (– 3; 1) равна a = . Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 3; – 5; 6), B (2; 1; – 4), C (0; – 3; – 1), D (3; 6; 8) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 14

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(– 1, x, 5), =(– 3, 4, 15), =(– 1, 2, 0), =(3, 1, 3). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

Дата добавления: 2015-08-29