Кафедра высшей математики 1 страница

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 1

1. Вычислить алгебраическое дополнение А₂₃ определителя

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку:

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(2, 3, x), =(– 6, – 9, 8), =(1, 0, 6), =(– 2, 3, – 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (7, 2, 4), A₂ (7, – 1, – 2), A₃ (3, 3, 1), A₄ (– 4, 2, – 1). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (2; 1), B (– 1; 3), C (4; 5). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – 2y – 7 = 0 и x + 3y – 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 9x² + 4y² – 72x – 8y + 112 = 0; б) x² – 6x + 4y + 9 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A (1; 0), чем к точке B (– 2; 0). Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 3; 4; – 7), B (1; 5; – 4), C (– 5; – 2; – 14), D (– 12; 7; – 1) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 2

1. Решить уравнение

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x, 2, – 1), =(5, 6, – 3), =(1, 2, 0), =(– 3, 1, 2). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 3, 6), A₂ (2, 2, 1), A₃ (– 1, 0, 1), A₄ (– 4, 6, – 3). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 2), B (4; 2), C (3; – 2). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти проекцию точки A (– 6; 10) на прямую, проходящую через точки B (4; – 12) и C (– 5; 7).

15. Уравнения линий второго порядка

а) 25x² – 9y² – 100x + 18y – 137 = 0; б) y² – 6x – 6y + 9 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

163. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A (– 1; 0), чем к точке B (– 1; 3). Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 1; 2; – 3), B (4; –1; 0), C (2; 1; – 2), D (1; – 6; – 5) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 3

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(– 1, x, 5), =(2, 7, – 10), =(0, 1, 1), =(2, 1, – 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (– 4, 2, 6), A₂ (2, – 3, 0), A₃ (– 10, 5, 8), A₄ (– 5, 2, – 4). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (0; 2), B (– 2; 0), C (– 3; 4). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Даны две вершины треугольника ABC: A (– 4; 4), B (4; – 12) и точка M (4; 2) пересечения его высот. Найти вершину C.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² + 4y² – 32x – 24y – 12 = 0; б) y² + x + 6y + 9 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A (1; 3), чем к точке B (1; 0). Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 3; – 1; 1), B (– 9; 1; – 2), C (3; – 5; 4), D (6; 0; 3) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 4

1. Вычислить алгебраическое дополнение А₃₄ определителя

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(4, x, – 6), =(2, 6, – 3), =(3, – 1, 0), =(2, 6, 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (– 1, – 5, 2), A₂ (– 6, 0, – 3), A₃ (3, 6, – 3), A₄ (– 10, 6, 7). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1;– 2), B (– 2; 1), C (2; 4). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2y – x = 3.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 4x² – 25y² – 32x – 50y – 61 = 0; б) x² + y² – 2x + 2y = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A (0; 3), чем к точке B (– 3; 3). Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; – 1; 1), B (– 2; 0; 3), C (2; 1; –1), D (– 2; 4; 2) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 5

1. Вычислить определитель матрицы 2А – В, где

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x, – 2, 4), =(5, – 1, 2), =(0, 2, – 5), =(– 1, 5, 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

Дата добавления: 2015-08-29