Обсуждение результатов. Нам удалось показать, что любое потенциальное поле, которое вблизи минимума энергии

Нам удалось показать, что любое потенциальное поле, которое вблизи минимума энергии квадратично по координате (см. формулу (140)) действует на материальную точку так, что эта точка превращается в гармонический осциллятор. Вместе с тем, (140) – результат приближения, использующего разложение (139). Если отброшенные в (139) слагаемые не малы или их необходимо учитывать по каким-то соображениям, то сила (141) получает дополнительные слагаемые, а осциллятор перестает быть гармоническим.

Затухающие колебания с вязким трением. Вынужденные колебания. Резонанс.

Теоретическое введение.

1. Если в системе гармонического осциллятора начинает действовать вязкое трение, осциллятор перестает быть гармоническим.

2. Считая, что сила вязкого трения имеет вид

, (145)

можно получить уравнение осциллятора с вязким трением

, (146)

где введен коэффициент затухания

, (147)

а собственная частота колебаний определяется, например, формулой (это для пружинного маятника)

. (148)

3. При изучении осциллятора с вязким трением рассматривают слабое и сильное затухание. Слабым считается затухание, когда

, (149)

и сильным – когда выполняется неравенство, противоположное (149).

4. В случае слабого затухания колебания происходят не на собственной частоте , а на несколько меньшей частоте (период колебаний возрастает):

. (150)

5. Для описания осциллятора с вязким трением вводят ряд характеристик затухания: – коэффициент затухания, – время релаксации (время, за которое амплитуда колебаний убывает в е = 2,73 раза, где е – основание натуральных логарифмов). Вводят также логарифмический декремент затухания d и добротность осциллятора Q:

, (151)

T – период колебаний, – число колебаний, после которых амплитуда A(t) убывает в е раз.

Добротность – это отношение энергии, запасенной системой (умноженной на ), к потерям энергии за период.

. (152)

6. Если на осциллятор с вязким трением действует внешняя сила, зависящая от времени, то говорят об осцилляторе с вынуждающей силой. Обычно изучение начинают со случая гармонической вынуждающей силы. В этом случае уравнение осциллятора имеет вид

, (153)

– частота вынуждающей силы.

7. При временах, значительно превышающих время релаксации, (153) имеет простое решение

, (154)

где амплитуда вынужденных колебаний равна

, (155)

а фаза вынужденных колебаний задана уравнением

, (156)

знаки определяются соотношениями частот : если , то берется «+», если же , то «–».

8. При вынужденных колебаниях возможен резонанс – значительное увеличение амплитуды при приближении частоты к частоте колебаний системы. Резонанс наступает (при слабом затухании), когда

. (157)

9. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе равна

. (158)

Задача 21.

Амплитуда колебаний груза кг, подвешенного на пружине жесткостью Н/м уменьшилась в 2 раза за время с. Определить добротность системы.

Дата добавления: 2015-11-04