Конечный и бесконечно малый углы поворота.

4.1.1. Заметание площади и угла

Ответим (честно) на вопрос: площадь - это вектор или не вектор? Можно быть уверенным, многие честно скажут, что площадь - скаляр. Это потому, как говорил Воланд, что «квартирный вопрос их испортил». Действительно, жилая площадь, и полезная, и общая, – скаляр. Но она – площадь горизонтальной поверхности, то есть величина площади пола. В той же квартире есть стены, поверхности которых вертикальны. Термины «вертикальный - горизонтальный» характеризуют направления. Следовательно, поверхностям или их площадям можно придать векторный смысл. По определению вектор площади плоской поверхности

,

где – орт нормали к поверхности. То есть можно сказать, что вектор площади плоской поверхности перпендикулярен этой поверхности. Но это правило позволяет направить вектор площади сразу по двум направлениям: в одну и другую стороны от поверхности.

Существуют разные правила, применяемые в разных случаях для однозначного выбора верного направления вектора площади из двух возможных. Сейчас мы будем пользоваться правилом обхода плоской поверхности по её периметру, и это правило называется правилом правого винта: если, глядя на поверхность фронтально, мы обводим её по часовой стрелке, то вектор её площади направлен от нас, если против часовой стрелки, то - к нам.

При движении материальной точки по окружности её радиус-вектор, проведённый из центра окружности, заметает площадь сектора окружности, который опирается на дугу окружности, пройденную телом.

В соответствие с направлением обхода окружности по правилу правого винта заметённая площадь , представленная на рисунке, будет направлена к нам.

Одновременно с площадью сектора заметается его центральный угол D j, равный углу поворота, то есть углу между начальным и текущим радиус-векторами. Хотелось бы углу поворота, благодаря его равенству с заметённым центральным углом, придать те же векторные свойства, что и заметённой площади сектора. Но в общем случае это сделать не удаётся.

Площадь обладает векторными свойствами не только потому, что её можно ориентировать в пространстве, но и потому что она подчиняется всем действиям, которые производятся над векторами. Например, векторы площадей можно складывать по правилам треугольника или параллелограмма: вектор суммы двух непараллельных друг другу площадей будет представлять плоскую поверхность, перпендикулярную плоскости (рисунка), которой также перпендикулярны оба слагаемых.

Поэтому все три вектора: , и будут лежать в одной плоскости.

Обратимся к углам поворота. Рассмотрим вращение радиус-вектора на угол p/2 против часовой стрелки последовательно вокруг декартовых осей z и x.

Вектор плоскости угла поворота не лежит в одной плоскости с векторами плоскостей углов поворота и . Поэтому сложение этих углов не подчиняется векторному правилу сложения. И этот факт будет иметь место при сложении любых конечных углов поворота.

Можно привести ещё один яркий пример того, что конечные углы поворота не обладают векторными свойствами. Сумма векторов не зависит от порядка суммирования:

Рассмотрим повороты на 90° кубика, грани которого окрашены в разные цвета, вокруг осей, направленных перпендикулярно граням куба. Если после двух последовательных поворотов против часовой стрелки вокруг оси x и оси y

провести повороты по часовой стрелке в обратной очерёдности, то есть сначала вокруг оси y, а потом вокруг оси x,

то куб вернётся к своей первоначальной ориентации. Если же поменять очерёдность поворотов, то есть сначала вокруг оси x, а потом вокруг оси y,

то куб не вернётся в своё начальное состояние. Значит,

.

Ситуация изменится, если повороты производить на бесконечно малые углы dj. Тогда радиус-векторы, отделённые друг от друга углами поворота могут считаться параллельными. Поэтому поверхность , соответствующая углу поворота радиус-вектора , будет перпендикулярна тому же элементарному плоскому «кусочку» сферы радиуса r, на который опираются поверхности и , полученные при заметании углов dj ₁ и dj ₂.

Следовательно, , и будут лежать в одной плоскости, и углам поворота можно придавать векторные свойства в соответствие с формулой площади сектора:

Þ ,

где направление и угла поворота, и заметённой площади сектора соответствует правилу правого винта.

4.1.2. Элементарный угол и элементарное перемещение

После выяснения физического смысла вектора элементарного угла поворота нам понадобится связь между ним и вектором элементарного перемещения .

На следующем рисунке изображена окружность, соприкасающуюся с траекторией материальной точки там, где та в данный момент времени t находится (эта окружность может быть самой траекторией). Кроме этого, изображено текущее положение материальной точки , положение в «следующий» момент времени и перемещение . Все положения отсчитываются от центра кривизны окружности О. За время dt радиус-вектор заметает элементарный угол , направленный на нас. Традиционно этот вектор прикладывают к центру окружности, то есть его линия действия совпадает с осью окружности.

Назовём радиус-вектор, отсчитанный от центра кривизны соприкасающейся окружности осевым радиус-вектором (по отношению к оси окружности). Его модуль равен радиусу кривизны R. Иными словами, на нашем рисунке мы меняем обозначения:

.

Сменим ракурс и взглянем на соприкасающуюся окружность в ребро. Три взаимно перпендикулярных вектора:

можно пронумеровать, упорядочив, таким образом, эту тройку векторов.

Известно, что упорядочить три взаимно перпендикулярных вектора можно двумя способами: как правую тройку, и как левую тройку. Все правые тройки этих векторов переходят друг в друга в результате одного или нескольких поворотов. Все левые - точно также. Но невозможно перевести поворотом правую тройку в левую. Любая левая тройка является зеркальным отражением соответствующей правой. В качестве третьего вектора в тройке мы выберем вектор . Правая тройка от левой, при уже выбранном третьем векторе, отличается нумерацией первых двух.

Существует несколько формулировок правила правой тройки. Одна для лёгкости запоминания увязывает направления упорядоченной тройки с пальцами левой руки. Мы дадим геометрическую формулировку.

---

Дата добавления: 2015-07-19