Игры с конечным числом повторений

8.10.1. Определение

Сейчас мы переходим к изучению игр с конечным числом повторений. Формальное описание игры с конечным числом повторений очень похоже на определение игры с бесконечным числом повторений: для любого положительного числа -периодичной игрой с конечным числом повторений для игры называется экстенсивная игра с полной информацией, удовлетворяющая определению 137.1, когда символ заменен на . Мы сосредоточим внимание на случае, когда отношение предпочтения каждого игрока в игре с конечным числом повторением выражается функцией , где – функция выигрыша, которая выражает предпочтения игрока в составной игре. Мы будем называть такую игру -периодичным повторением игры

8.10.2 Равновесие по Нэшу

Интуитивный аргумент, который порождает народные теоремы для игр с бесконечным числом повторений состоит в том, что взаимно желаемый исход игры может быть достигнут путем стабильного социального соглашения, в котором игрок удерживается от отклонения угрозой наказания за такое поведение. Такой же аргумент, но с небольшими изменениями, применяется в большом классе игр с конечным числом повторений. Причина изменения лежит в том факте, что исход последнего периода в равновесии по Нэшу в игре с конечным числом повторений должен быть равновесием по Нэшу в составной игре, факт, который бросает тень на весь процесс игры. Худшим случаем является случай, в котором выигрыш каждого игрока в каждом равновесии по Нэшу составной игры равен его минимаксному выигрышу (как в случае с Дилеммой Заключенного). В этом случае интуитивный аргумент народных теорем не работает: исход в каждом периоде должен быть равновесием по Нэшу составной игры, так как если бы был период, в котором результат не был бы таковым равновесием, тогда в последнем периоде игры какой-нибудь игрок мог бы отклониться, оставшись безнаказанным. Следующий результат формализует данное утверждение.

Утверждение 155.1. Если профиль выигрышей в каждом равновесии по Нэшу стратегической игры является минимаксным профилем игры, то для любого значения исход любого равновесия по Нэшу -периодичного повторения обладает тем свойством, что является равновесием по Нэшу для игры для всех .

Дата добавления: 2015-11-14