Наказание карателя: Совершенная народная теорема для критерия гонки

Следующий результат является аналогом предложения 146.2 для критерия гонки. Он показывает, как стратегии, отличные от тех, которые были использованы для доказательства совершенной народной теоремы для критерия предельных средних, могут обеспечить желательный исход, если предпочтения игрока выражены критерием гонки. Для простоты мы построим профиль стратегий только для случая, когда равновесное состояние состоит только из повторения единственной (строго возможной) стратегии.

Предложение 149.1. (Совершенная народная теорема для критерия гонки). Для любого строго возможного исхода игры существует равновесие, совершенное по под-играм в бесконечно повторяемой игре-гонке , которое образует путь , в котором для всех .

Доказательство. Пусть – максимум по всем и . Рассмотрим профиль стратегий, в котором каждый из игроков использует следующий автомат:

· Набор состояний: . (В состоянии игрок заслуживает наказания на протяжении игровых периодов)

· Начальное состояние: .

· Функция вывода: В состоянии выбрать . В состоянии выбрать , если и если

· Переход при исходе :

o Из состояния перейти в состояние , исключая случай, когда для какого-либо игрока будет (то есть единственный, кто отклоняется от ). В этом случае перейти в состояние , где – наименьшее целое, такое что .

o Из состояния :

§ Если или как минимум для двух игроков (то есть все каратели наказывают или как минимум двое так не поступают), тогда перейти в состояние , если и в состояние Норма, если .

§ Если и если (то есть - единственный каратель, который не наказывает), тогда перейти в состояние , где – число, достаточно большое, чтобы сумма выигрыша игрока в состоянии и в последующих периодах, если он не изменит свою стратегию, была больше, чем его выигрыш в случае отклонения плюс . (Такое число существует, так как мы предположили, что после периодов игры игроки вернутся к равновесной стратегии , и .)

При использовании такого профиля стратегий любая попытка игрока увеличить его выигрыш при помощи одностороннего отклонения, включая то, после которого предполагается наказание, компенсируется последующим наказанием другими игроками. Мы снова предлагаем читателю проверить то, что построенный профиль стратегий является равновесием, совершенным по под-играм.

Дата добавления: 2015-11-14