Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Поверхностный интеграл II рода

Физические приложения векторной алгебры | Простейшие задачи статики | Центр масс системы материальных точек | Уравнение траектории движущейся точки | Векторное описание канала связи | Построение многомерных сигналов | Процедура детектирования сигналов | Физические приложения криволинейного интеграла I рода | Криволинейный интеграл II рода | Физические приложения криволинейного интеграла II рода |


Читайте также:
  1. II. Двойные и криволинейные интегралы.
  2. II. Двойные и криволинейные интегралы.
  3. III.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СПОСОБ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ЧМ—РВ
  4. Интеграл Дюамеля.
  5. Интегральная форма второго уравнения Максвелла
  6. Интегральная форма первого уравнения Максвелла или закон полного тока
  7. Интегральная функция распределения отказов

Способы вычисления потока векторного поля зависят от задания поверхности Возможный три случая.

1) В этом случает поверхность однозначно проектируется на плоскость и

Здесь – угол между и Нормаль находится по формуле: причем знак “+” выбирается в том случае, если нормаль и образуют острый угол, в противном случае – “–”.

Задача 24: 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону поверхности , ограниченную

Рис. 1

Решение. Здесь поэтому

т.к. следовательно

Поэтому

И, следовательно ибо – четверть круга радиуса

2) Поверхность задана неявным уравнением

В этой ситуации вектор нормали может быть вычислен по формуле:

Здесь Выбор знака в выражении для вектора нормали осуществляется в соответствии со стороной поверхности

Задача 25. Найти поток П векторного поля через сферу в направлении внешней нормали Т.к. в точке вектор то

Замечание. Для замкнутой поверхности имеет место формулы Остроградского – Гаусса: Здесь – трёхмерное тело, границей которого служит Итак, поток П для предыдущего примера:

c) Поверхность биективно проектируется на все три координатные плоскости: области – суть проекции поверхности на плоскости (Oxy), (Oxz) и (Oyz), соответственно. В такой ситуации

,

здесь знаки перед первым, вторым и третьим интегралом равны соответственно знакам скалярных произведения и или, что равносильно, знакам чисел и . Соответственно: .

Задача 26. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части сферы расположенную в 1-м октанте.

Здесь причем , поэтому

Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 180–181; 10, с. 64, 69; 4, с. 164–165].

Задача 27. Найти поток П векторного поля через часть параболоида отсеченную плоскостью в направлении к внешней по отношению к параболоиду нормали.

Решение:

=> берём “–” т.е.: поэтому Перейдём к полярным координатам

Задача 28. Найти поток П векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали

Рис. 2

Проекция на плоскость (Oyz) поверхности – полукруг (см. рис. 3).

Рис. 3

– полукруг

Найдем

и т.к. , то берём с “+”! => ;

Найдём Проекция поверхности на плоскость Оyz -полукруг

Рис. 4

Найдем . Поскольку , то поэтому А поскольку , то

Поэтому

С другой стороны, поскольку поверхность замкнута, то можно применить теорему Остроградского – Гаусса.

Опишем поэтому

Задача 29. Найти поток П векторного поля через часть поверхности расположенную в 1-м октанте. Нормаль к ней образует острый угол с осью

Решение.

Итак, Поскольку и то Π = + + = +2 + 2 . Поскольку то

+

При вычислении интегралов были сделаны следующие замены:

Другой способ. Замкнем поверхность до поверхности пирамиды: По теореме Остроградского – Гаусса

ибо

Π3= = ибо х = 0.

Поэтому


Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 22 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Физические приложения поверхностного интеграла I рода| Основные характеристики полей

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)