Интегральная форма второго уравнения Максвелла

Пусть площадку s ограничивает замкнутый контур l (рис.4). Выделим на этом контуре бесконечно малый отрезок dl и его векторный элемент длины , где - касательная к линии контура в рассматриваемой точке. В любой точке пространства выполняется второе уравнение Максвелла (1.7): .

Умножим правую и левую части уравнения на векторный элемент площади и проинтегрируем полученное уравнение по рассматриваемой площади s:

Поменяем порядок действий в правой части уравнения. Тогда под знаком частной производной оказывается взятый по площади интеграл от индукции магнитного поля, который, по определению, есть магнитный

Рис.4

поток протекающий через площадку - Ф. К левой части можно применить теорему Стокса. В результате, получим выражение для интегральной формы второго уравнения Максвелла:

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна взятой со знаком минус скорости изменения магнитного потока, проходящего через площадь этого контура.

Замечания:

1. Магнитный поток может быть сосредоточен только в отдельно части рассматриваемой поверхности.

2. Если охватывающий площадь с изменяющимся магнитным полем контур, сделать проводящим, то на концах этого проводника возникнет электродвижущая сила, которую можно найти как (закон Фарадея).

§-4 Третье уравнение Максвелла.

1.4.1. Дифференциальная форма третьего уравнения Максвелла

Третье уравнение Максвелла можно вывести из первого уравнения, выполнив операцию взятия дивергенции от правой и левой части этого уравнения:

(1.8)

Физическое содержание: Линии вектора электрического смещения начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных

Замечание:

1. Случай, когда не обязательно означает, что электрического поля нет, а говорит о том, что вектор электрического смещения неизменен.

1.4.2. Интегральная форма третьего уравнения Максвелла

Пусть область V, в которой сосредоточен заряд, плотностью , ограничена замкнутой плоскостью s. Выделим на этой площади бесконечно малый элемент площади ds и его векторный элемент , где - нормальная составляющая к площади в рассматриваемой точке. В любой точке пространства выполняется третье уравнение Максвелла (1.3): . Умножим правую и левую части уравнения на элемент объёма и проинтегрируем полученное уравнение по рассматриваемому объёму v:

К левой части уравнения можно

Рис.5

применить теорему Остроградского-Гаусса. Выражение в правой части – представляет собой суммарный заряд Q, который находится в ограниченном площадью s объёме. В результате, получим выражение для интегральной

формы третьего уравнения Максвелла:

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность, равен суммарному заряду, находящемуся внутри этой поверхности.

Замечание:

1. Поток вектора электрического смещения через замкнутую область может быть равен нулю в следующих случаях: в рассматриваемой области нет электрического поля, в рассматриваемой области нет электрических зарядов, в рассматриваемой области суммарный электрический заряд равен нулю.

§-5 Четвёртое уравнение Максвелла.

1.5.1. Дифференциальная форма четвёртого уравнения Максвелла

Четвёртое уравнение Максвелла можно вывести из второго уравнения, выполнив операцию взятия дивергенции от правой и левой части этого уравнения. В результате, получим:

(1.9)

Физическое содержание: Линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты сами на себя или в природе нет магнитных зарядов, которые бы являлись источниками индукции магнитного поля.

Замечание:

Согласно данному определению магнитное поле может быть только вихревым.

1.5.2. Интегральная форма четвёртого уравнения Максвелла

Пусть область пространства V, ограничена замкнутой плоскостью s (рис.6). Выделим на этой площади бесконечно малый элемент площади ds и его векторный элемент , где - нормальная составляющая к площади в рассматриваемой точке. В любой точке пространства выполняется четвёртое уравнение Максвелла (1.3): . Умножим правую и левую части уравнения на элемент объёма и проинтегрируем полученное уравнение по рассматриваемому объёму v:

К левой части уравнения можно применить теорему Остроградского-Гаусса. В результате, получим выражение для интегральной формы четвёртого уравнения Максвелла:

Рис.6

Магнитный поток через замкнутую поверхность всегда равен нулю.

§-6 Энергетические соотношения.

Плотность энергии электрического поля можно определить по формуле:

=Дж/м³

Плотность энергии магнитного поля можно определить по формуле:

=Дж/м³

Кстати:

Ø Максимальная энергия, накопленная электрическим полем в воздухе в нормальных условиях (при пробивной напряжённости поля В/м составляет около 40 Дж/м³

Ø Энергия, которую может накопить магнитное поле в воздухе, составляет около 400000 Дж/м³, т.е. на 4 порядка больше.

Ø Отличием в способности запасать энергию в электрическом и магнитном полях привели к тому, что практически во всех технических приложениях используется накопление энергии магнитного поля (трансформаторы, электродвигатели и генераторы).

§-7 Поля на границе раздела сред с разными свойствами

Для того чтобы связать касательные составляющие электрического и магнитного поля в средах с разными свойствами, запишем первое и второе уравнение Максвелла для границы раздела сред. С учётом того, что оператор rot как раз и описывает поведение касательных составляющих поля, для произвольной точки на поверхности раздела, первое уравнение будет иметь вид:

(1.10)

второе:

(1.11)

Т.е. касательные составляющие напряжённости электрического поля и касательные составляющие напряжённости магнитного поля на границе раздела двух сред равны друг другу.

Замечания:

1. Утверждение для напряжённости электрического поля выполняется всегда, для напряжённости магнитного поля – в большинстве случаев.

2. Чтобы эти условия не выполнялись необходимо, чтобы существовали либо бесконечно большие значения производных по времени от индукции магнитного или электрического поля, либо бесконечно большая плотность тока на поверхности раздела сред.

Изменение нормальной составляющей векторов описываются оператором div. Для того чтобы связать нормальные составляющие электрического и магнитного поля в средах с разными свойствами, запишем третье и четвёртое уравнения Максвелла для границы раздела сред. Для произвольной точки на поверхности раздела, третье уравнение будет иметь вид:

(1.12)

четвёртое:

(1.13)

Т.е. нормальная составляющая вектора электрического смещения на границе двух сред изменяется скачком на величину равную поверхностной плотности заряда, который присутствует на границе раздела, нормальная составляющая вектора индукции магнитного поля всегда равны друг другу.

§-8 Баланс энергии электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.

Запишем первое и второе уравнения Максвелла для определённой области пространства. Ограничение этой области приводит к тому, что в данной области действуют не только собственные источники поля, но и внешние источники. Для математического описания их действия на исследуемую систему удобно ввести дополнительный член в правую часть первого уравнения Максвелла - плотность тока сторонних источников (). Тогда эти уравнения примут вид:

Умножим первое уравнение на вектор напряжённости электрического поля, а второе – на вектор напряжённости магнитного поля и просуммируем полученные выражения:

Преобразуем полученное выражение следующим образом:

Введём понятие полной энергии электромагнитного поля, как суммы энергий отдельных составляющих этого поля: . Тогда полученное уравнение можно переписать в виде:

(1.14)

Это уравнение показывает, что часть электромагнитной энергии расходуется на нагрев (второй член уравнения), часть на изменение энергии электромагнитного поля (третий член уравнения), часть на нагрев, вызываемый сторонними источниками поля (четвёртый член уравнения). Для того чтобы данное уравнение описывало энергетический баланс в рассматриваемой системе – в его составе необходим член, описывающий разность (div) потоков энергии поступающих в эту систему. Эту роль выполняет первый член уравнения. Т.е. векторное произведение напряжённостей электрического и магнитного полей представляет собой поток энергии электромагнитного поля. Этот поток называют вектором Пойнтинга и обозначают ,

Замечания:

1. Направление вектора Пойнтинга – направление движения электромагнитной энергии в системе.

2. Модуль вектора Пойнтинга равен , где это угол между направлениями напряжённостей электрического и магнитного полей.

3. Модуль вектора Пойнтинга показывает, какая энергия электромагнитного поля переносится через единичную площадку за единицу времени.

Проинтегрируем выражение (1.14) по всему рассматриваемому объёму. С учётом того, что , полученное выражение можно записать в виде уравнения энергетического баланса для рассматриваемого объёма:

(1.15)

Где W – полная энергия электромагнитного поля в рассматриваемом объёме.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ:

1. Любые проявления электромагнитного поля могут быть описаны с помощью системы уравнений Максвелла

2. Система уравнений Максвелла описывает процессы в бесконечном пространстве. Для решения этой системы уравнений в определённой области пространства необходимо знать граничные и, в некоторых случаях, начальные условия.

3. В общем случае решение системы уравнений Максвелла – исключительно сложная задача, на решение которой мы в данном курсе не претендуем.

4. В этом курсе мы остановимся на некоторых частных случаях решений, при рассмотрении которых уравнения Максвелла можно существенно упростить.

Тема 2.

---

Дата добавления: 2015-11-16