Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интерполяция и аппроксимация функций



Читайте также:
  1. II. Описание трудовых функций, входящих в профессиональный стандарт
  2. Адаптация. Коррекция и компенсация функций
  3. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
  4. В.1.Предел и непрерывность функции одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
  5. В.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
  6. В.9. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
  7. ГОРМОНАЛЬНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ОРГАНИЗМА

Аппроксимация – замена одной функции на другую, удовлетворяющую условию близости. Условие близости – строгое математическое ограничение, которое позволяет в идеале выбрать единственную функцию. Функция, которую заменяют при аппроксимации принято называть аппроксимируемой. Функцию, которой заменяют аппроксимируемую принято называть аппроксимирующей. Смысл аппроксимации в том, чтобы более сложную или неявную аппроксимируемую функцию заменить более простой аппроксимирующей. Поэтому аппроксимирующие функции, как правило, элементарные – полиномы, тригонометрические функции и т.д.

Интерполяция – вид аппроксимации, для которого условие близости – совпадение значений функций в отдельных точках (узлах интерполяции). Пусть задан отрезок [a,b] на котором строится интерполирующая функция L(x) для интерполируемой F(x). Этот отрезок разбиваем на n частей точками xi = a+i*h –узлами интерполяции, где h = (b-a)/n. Это вариант равноотстоящих узлов. В общем случае узлы расположены произвольно, но при этом одна из точек совпадает с a, а другая с b. Пронумеруем точки так, чтобы они распределились по возрастанию: а= х0 < х1 < х2 < … < хn = b. При этом необходимо, чтобы точки не совпадали между собой. В узлах интерполяции зададим значения интерполируемой функции yi = F(xi). Значения индекса меняются i=0,1,2,…n-1. Таким образом, задаются 2 набора значений xi, yi, которые должны быть связаны условием интерполяции (условием близости) L(xi) = yi. Практически это совпадение функций L(x) и F(x) в узлах интерполяции. Этот вариант осуществляется, например, при построении графика функции по точкам. Принято приближение функции F(x) интерполирующей L(x) на отрезке [a,b] называть собственно интерполяцией, а вне данного отрезка экстраполяцией. Погрешностью интерполяции называют величину d(x)=|L(x) - F(x)|.

На графике видно, что в узлах интерполяции погрешность равна нулю. Между узлами интерполяции погрешность положительна и не равна нулю, а в областях экстраполяции быстро растет.

Существуют различные варианты интерполяции (полиномиальная, тригонометрическая, кусочно-сплайновая и др.), но наиболее употребительна интерполяция полиномами. Полиномом называют функцию вида . Здесь наивысшая степень n называется порядком полинома. Полином легко вычисляется (например, по схеме вычисления Горнера), дифференцируется и интегрируется. Ищем интерполирующую функцию в виде полинома Ln(x).

Запишем условие близости интерполяции:

- система уравнений первой степени для величин , где полином выражен формулой и -неизвестные коэффициенты, которые необходимо определить, а - степени узлов интерполяции (узлы заданы по условию).

Для получаем систему линейных уравнений -степень полинома, , где неизвестный коэффициент.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 242 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)