Основні положення про границі числових послідовностей

1⁰. Збіжна послідовність має тільки одну границю.

2⁰. Збіжна послідовність завжди обмежена.

3⁰. Якщо члени збіжної послідовності задовольняють нерівність , то і .

4⁰. Якщо члени двох збіжних послідовностей і задовольняють нерівностям , то і .

Означення. Послідовність називається:

зростаючою, якщо для всіх n,

неспадною, якщо для всіх n,

спадною, якщо для всіх n,

незростаючою, якщо для всіх n.

Усі такі послідовності називаються монотонними. Справедливі наступні фундамен­тальні теореми, які ми приймемо без доведення.

Теорема (Гур’єва або про порушника і двох конвоїрів). Якщо члени трьох послідовностей , і задовольняють нерівностям і при цьому послідовності і мають одну і ту ж границю а, то і послідовність має границю а, тобто .

Теорема (достатня умова збіжності послідовності). Обмежена монотонна послідовність завжди має скінчену границю, тобто є збіжною.

Прикла. Довести, що послідовність має скінчену границю, тобто збігається.

Доведення. Покажемо, що ця послідовність обмежена. Для цього запишемо її загальний член у вигляді , звідки випливає, що .

Дослідимо цю послідовність на монотонність. Розглянемо часту .

Таким чином, , тобто послідовність зростаюча, а отже, за теоремою 2 вона має скінчену границю. Легко переконатись, що .

Дата добавления: 2015-08-09