Границя числової послідовності

Розділ 9. ГРАНИЦЯ ЗМІННОЇ ТА ФУНКЦІЇ

Границя числової послідовності. Основні теореми про границі числових послідовностей. Число е. Натуральні логарифми. Границя функції на нескінченності і в точці. Однобічні границі. Основні теореми про границі функції.Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Розкриття деяких невизначеностей. Дві важливі границі.Задача про неперервне нарахування відсотків. Неперервність функції. Класифікація точок розриву функції. Неперервність функції в точці і на відрізку.Властивості неперервних функцій.

Границя числової послідовності

Означення. Якщо за певним законом кожному натуральному числу n поставлено у відповідність цілком визначене число , то кажуть, що задана числова послідовність

Іншими словами, числова послідовність – це функція натурального аргументу: .

Розглянемо, наприклад, послідовність . Зобразимо задану послідовність точками на числовій прямій (рис. 1).

Рис. 1.

Легко бачити, що з ростом n, члени послідовності як завгодно близько наближаються до 1. При цьому стає все меншим і меншим, тобто з ростом n буде менший за будь-яке, як завгодно мале додатне число.

Означення. Число a називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа , знайдеться такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами має місце нерівність .

Якщо числова послідовність має границю а, то вона називається збіжною (до числа а) і ми пишемо

. (1)

Зауважимо, що інколи замість (1) пишуть просто при .

За допомогою логічних символів (кванторів) (для всіх, для всякого), (існує, знайдеться) і (слідує) означення границі числової послідовності можна записати так:

.

Приклад. Виходячи з означення границі числової послідовності довести, що .

Дата добавления: 2015-08-09