Решение. 1) . Можно посмотреть по графику

1) . Можно посмотреть по графику. Но мы поступим более аккуратно. Исследуем последовательность на монотонность.

Определим знаки Корни соответствующего квадратного уравнения .

. При . Вывод: ; далее , последовательность убывает, т.е.

Наибольший член последовательности - .

Ответ: .

2) по неравенству Коши равенство достигается при . Тогда .

Ответ: .

Задание: 1) Найти формулу -го члена последовательности, заданной рекуррентно:

.

3) Докажите, что все члены последовательности кратны 5.

4) Последовательность задана рекуррентно: . Докажите, что .

Решение.

1) . Будем искать формулу в виде . .

Ответ: .

Заметим, что если в подобной задаче формула уже известна (догадались?), то для ее доказательства удобно использовать метод математической индукции.

2) . Выражение в скобке делится на по следствию из теоремы Безу (или формуле сокращенного умножения – разности -х степеней).

Заметим, что здесь также хорошо работает индукция.

3) . Догадаемся сравнить квадраты соседних членов (все члены последовательности положительны!). .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найдите одну из возможных формул -го члена для последовательности:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и)

2. Исследуйте данные последовательности на ограниченность:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

н) о) п)

р) с)

3. Исследуйте данные последовательности на монотонность:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

н) о) п) р)

4. Найдите наибольший и наименьший члены последовательности (если они существуют): а) ; б) ; в) ; г) .

5. Задается ли формулой последовательность простых чисел?

6. Последовательности и заданы формулами .

а) Докажите, что любой член последовательности не превосходит члена

последовательности с соответствующим номером.

б) Верно ли то же утверждение для двух произвольно взятых членов

последовательностей (не обязательно с соответствующими номерами)?

в) Можно ли найти какое-либо число, разделяющее эти две последовательности,

т.е. ограничивающее одну из них сверху, а другую снизу?

г) Найдите какую-либо последовательность , такую, что .

7. Последовательность задана формулой . Проверьте справедливость равенства .

8. Докажите, что общий член последовательности, заданной рекуррентно: , выражается формулой .

Ответы.

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) .

1. а) ограничена снизу 8, сверху не ограничена.

б) ограничена снизу 0, ограничена сверху .

в) ограничена снизу , ограничена сверху .

г) ограничена снизу 0, ограничена сверху .

д) ограничена снизу , сверху не ограничена.

е) не ограничена ни сверху, ни снизу.

ж) ограничена снизу, например, 0, сверху не ограничена.

з) ограничена снизу, например, 0, сверху не ограничена.

и) ограничена снизу -316, ограничена сверху -314.

к) не ограничена ни сверху, ни снизу.

л) ограничена снизу 0, ограничена сверху .

м) ограничена снизу 4, сверху не ограничена.

н) ограничена снизу , ограничена сверху .

о) ограничена снизу , сверху не ограничена.

п) ограничена снизу , сверху не ограничена.

р) ограничена снизу 0, сверху не ограничена.

с) ограничена снизу 0, ограничена сверху 1.

3. а) возрастает. б) убывает. в) возрастает. г) убывает. д) убывает.

е) не является монотонной. ж) не является монотонной.

з) не является монотонной. и) не является монотонной.

к) не является монотонной. л) убывает. м) не является монотонной.

н) возрастает. о) возрастает. п) возрастает. р) возрастает.

4 а) ; наибольшего члена нет.

б) ; наибольшего члена нет.

в) ; наименьшего члена нет.

г) наибольшего члена нет.

5. Нет. 6. б) Нет. в) Нет. г) Например, .

1. Найдите одну из возможных формул -го члена для последовательности:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и)

2. Исследуйте данные последовательности на ограниченность:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

н) о) п)

3. Исследуйте данные последовательности на монотонность:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

4. Найдите наибольший и наименьший члены последовательности (если они существуют): а) ; б) ; в) ; г) .

5. Задается ли формулой последовательность простых чисел?

6. Последовательности и заданы формулами .

а) Докажите, что любой член последовательности не превосходит члена

последовательности с соответствующим номером.

б) Верно ли то же утверждение для двух произвольно взятых членов

последовательностей (не обязательно с соответствующими номерами)?

в) Можно ли найти какое-либо число, разделяющее эти две последовательности,

т.е. ограничивающее одну из них сверху, а другую снизу?

г) Найдите какую-либо последовательность , такую, что .

7. Последовательность задана формулой . Проверьте справедливость равенства .

8. Докажите, что общий член последовательности, заданной рекуррентно: , выражается формулой .

Дата добавления: 2015-08-09