Решение. 1) Функция ограничена, т.к

Читайте также:

1) Функция ограничена, т.к. . Тогда также ограничена .

Ответ: ограничена.

2) (расшифруем: ) Отметим, что, во-первых, среди выписанных чисел (их бесконечно много!) нет ни одного отрицательного или равного нулю, т.е. ограниченность снизу видна; во-вторых, для доказательства неограниченности последовательности достаточно уметь для произвольного числа М находить член последовательности, больший, чем М. Здесь . Пусть задано произвольное . При .

Ответ: ограничена снизу 0, сверху не ограничена.

3) Найдем значения квадратичной функции на промежутке . (расширяем множество значений переменной с до . Как связаны множества значений и ? С одной стороны, шире, т.е. включает в себя какие-то числа, не входящие в . С другой стороны, , т.е. ограниченность влекла бы за собой ограниченность . Но неограниченность не означает автоматической неограниченности .

; на убывает, тогда (по свойствам квадратичной

функции) . Ограниченность сверху видна. А если учесть то, что как угодно

далеко от 0 найдутся натуральные , и представить себе параболу «ветвями» вниз, то становится

очевидной неограниченность снизу .

Замечание: попробуем доказать неограниченность снизу по определению. Пусть задано

произвольное . Рассмотрим неравенство . (). Вспомним

структуру решений квадратичного неравенства. Если соответствующее квадратное уравнение

не имеет корней , то любое , а, значит, и любое является

решением неравенства; если же корни уравнения есть , то решение неравенства

имеет вид , а в любом множестве такого типа есть натуральные

числа.

Ответ: ограничена сверху(числом 1), снизу не ограничена.

4) 1-й способ: проведем грубые оценки.

; тогда , ; ограничена снизу,

например, числом 0. (Можно легко дать более точную оценку:

; тогда .)

Нетрудно заметить, что для натуральных верно неравенство . Тогда

, т.о. ограничена сверху, например, числом 3.

Ответ: ограничена.

2-й способ: найдем множество значений функции и убедимся, что при (напомним, в задании ) эта функция ограничена.

Что представляет собой запись ? Один скажет: «Это формула, задающая функцию переменной », и будет прав. А другой скажет: «Это уравнение относительно переменной с параметром ». Вторая точка зрения имеет право на существование! И поможет нам решить задачу. Домножим (аккуратно! Заметим, что , т.к. ) на . Переформулируем вопрос задачи: «При каких значениях параметра уравнение имеет решения, не меньшие 1?» а) При уравнение линейно, - решение. Далее воспользуемся теоремами о расположении корней квадратного трехчлена.

б) При (функция квадратичная, график – парабола) поставим условие (существование корней) и отбросим те случаи, когда все корни строго меньше 1, т.е. соответствующие параболы выглядят так:

, т.е. .

Получаем искомое множество значений .

Ответ: ограничена. (Заметим, что при решении 2-м способом получены более точные границы! Но достаточно было найти любые.)

5) Обращаем внимание, что . Проще всего построить график. Что такое график последовательности, заданной формулой -го члена? Это дискретное множество точек

(с натуральными абсциссами) на графике соответствующей функции . Итак,

Если бы вопрос был задан о функции , то ответ был бы таков: функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу. Но в случае последовательности ситуацию спасает то, что , а значит, не может быть очень близко к 7. По чертежу расшифровываем ситуацию: наименьшим является член последовательности с номером 6 , наибольшим – 8-й член . Остальные члены последовательности расположены между ними.

Ответ: ограничена.

6) Оценим . Первое наблюдение: , т.е. ограничена снизу 0. Далее нужно провести оценку в обратную сторону (если мы предполагаем, что последовательность ограничена; догадаться об этом можно по нескольким первым членам.) Общий член последовательности есть сумма слагаемых; самое большое из которых есть первое. Тогда . Последовательность ограничена сверху числом 1.

Замечание: при желании можно таким же образом получить и более точную оценку снизу:

Ответ: ограничена.

7) Оценим (снизу и сверху).

Заметим, что при натуральных , т.о. знаменатель дроби всегда положителен (как и числитель). (дробь с положительными числителем и знаменателем уменьшается при уменьшении числителя и при увеличении знаменателя). Теперь делаем выводы. Во-первых, любой член последовательности не менее 0,5, а это означает ограниченность снизу. Во-вторых, . Тогда , т.о. не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу, не ограничена сверху.

Обобщение: если меньшая последовательность не ограничена сверху, то большая (тем более!)

не ограничена сверху. Если большая последовательность не ограничена снизу, то меньшая (тем

более!) не ограничена снизу.

8) . Забежим немного вперед (можно прочитать 8) чуть позже, после рассказа про

монотонность). Если мы знакомы с понятием предела, с показательной функцией, и умеем

сравнивать темпы роста показательной и степенной функций на , то решаем задачу так:

а) ; последовательность ограничена снизу 0.

б) Теорема: , т.е. не ограничена сверху.

Если мы умеем обращаться с понятием монотонности и знаем, что такое геометрическая прогрессия,

то решаем пункт б) задачи так:

б) Исследуем на монотонность. Сравним два соседних члена последовательности (т.к.

последовательность положительна, найдем их отношение и сравним его с 1).

. При достаточно больших можно надеяться, что

найденное отношение будет больше какого-то фиксированного числа . Например, при 4

; . Тогда можно доказать, что

, т.е. данная последовательность больше возрастающей геометрической

прогрессии, а, следовательно, не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу, не ограничена сверху.

Определение. 1) Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если .

Чем больше номер, тем больше член последовательности.

Аналогично, 2) последовательность называется убывающей (невозрастающей), если .

Внимание! Переформулировка определения: 1а) Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если .

Каждый член последовательности больше (не меньше) предыдущего.

2а) Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если .

Докажите, что определения 1) и 1а), 2) и 2а) соответственно равносильны. (Указание:

при доказательстве в одном из направлений воспользуйтесь индукцией по разности номеров

и .)

Задание: исследовать данные последовательности на монотонность. 1) ;

2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) .

Замечание: при исследовании на монотонность удобнее использовать определения 1а) и 2а). Выделим следующую простую мысль: проверка по любым двум членам не дает доказательства монотонности! (А вдруг найдется другая пара, для которой не так?) Если же Вы уверены, что последовательность монотонной НЕ является, то достаточно привести пример двух пар номеров, таких, чтобы неравенство между номерами один раз совпадало по знаку с неравенством между соответствующими членами, а другой раз – нет. В случае, когда нужно опровергнуть утверждение о возрастании или убывании, контрпример приводить еще легче – нужна всего одна пара.

Решение.

1) Наша задача – сравнить два (произвольных, т.е. не нами выбранных, а с номерами и ) соседних члена последовательности. ; . Рассмотрим разность и сравним с 0. , т.е. всегда последующий член больше предыдущего.

Ответ: возрастает.

2) . Наглядно можно представить себе поведение последовательности по графику. Но для достижения большей строгости доказательства рассмотрим опять разность соседних членов: .

Ответ: убывает.

3) ; .

Ответ: возрастает.

4) ; . Сравним и Возведем эти два положительных выражения в квадрат.

< Вывод: .

Ответ: убывает.

Для тех, кто знаком с понятием выпуклости графика функции, даем другой способ доказательства:

Рассмотрим функцию . Она выпукла вверх на всей области определения – на .

Свойство выпуклой вверх на промежутке функции :

Выберем . Получаем: , что и требовалось

доказать.

5) . Проще всего рассмотреть при функцию , которая является (при ) произведением трех положительных возрастающих функций, а, значит, возрастает. Значения же рассматриваем отдельно: ... Делаем вывод.

Ответ: возрастает, начиная с 4-го номера.

В целом же последовательность монотонной не является.

Замечание №1. При можно доказать монотонность (положительной!)

последовательности, рассмотрев отношение двух соседних членов и сравнив его с 1:

, т.е. .

Замечание №2. Для тех, кто хорошо ориентируется в графиках функций, точнее, четко

представляет себе кубическую параболу , пересекающую ось абсцисс

в трех точках и , левый «хвост» которой уходит вниз, а «правый» - вверх.

Ну вот, осталось только написать ответ (см. выше).

6) . (расшифруем: ) Последовательность знакопеременная, она «скачет» по разные стороны от 0. Для доказательства отсутствия монотонности достаточно привести пример двух пар членов: 1-я пара: 2-я пара: . В этой последовательности нет ни одного достаточно большого промежутка монотонности, хотя наблюдается отдельно возрастание по нечетным номерам и отдельно убывание по четным.