Интегральное преобразование Фурье.

Гармонический анализ периодических сигналов можно распространить и на непериодические сигналы.

0<t<T (ω=2πT)

.

Для перехода к предельному непериодическому сигналу необходим устремить Т→∞.

При Т→∞:

1. ω→dω

2. n∙ω→ω

3. сумма →dω

.

Формула обратного преобразования Фурье выглядит следующим образом:

.

Основные свойства преобразования Фурье:

1. линейность: S₁(t)→ S₁(ω)… S_n(t)→ S_n(ω)

2. преобразование Фурье сигнала, смещенного во времени

S (t)↔ S (ω); S(t-t₀); S’(ω)-?

│ x=t-t₀ │

3. преобразование Фурье производной сигнала

S (t)↔ S (ω);

F(ω)-?

F(ω)=jωS(ω).

Для n-ой производной F(ω)=(jω)²S(ω).

4. преобразование Фурье произведения сигналов

U(t)↔ U (ω); V(t)↔ V(ω);

Сверка спектральных плотностей:

.

Произведению сигналов соответствуют спектральная плотность, пропорциональная свертке этих сигналов.

Данная теорема имеет обратную силу:

U(ω), V(ω);

U (ω)∙V(ω)↔V(t)×U(t).

Произведению спектральных плотностей U(ω) и V(ω) соответствует свертка сигналов.

.

Спектральная плотность измерительного сигнала есть характеристика частоты. Является комплексно-значимой характеристикой, несущей информацию и об амплитуде и о фазе измерительного сигнала.

Спектральная плотность обладает всеми свойствами спектральных коэффициентов с отличием в Ом, что в спектре непериодического сигнала присутствуют все частоты. Формулу для S(ω) называют прямым преобразованием Фурье.

Условие наличия спектральной плотности у сигналов:

1. δ(t) (при t=0, δ(t)=∞, при t≠0, δ(t)=0)

S(t)=A∙δ(t),

t=0; S(ω)=A∙e⁰=A

2. прямоугольный импульс.

τ_и­ - длительность импульса.

; ; S(ξ=0)=Uτ_u.

3. экспоненциальный видеоимпульс

S(t)=U∙e^-αtδ(t).

.

; ;

; .

Для описания интегрированной плотности неинтегрируемых сигналов вводится понятие обобщенной спектральной плотности. Для этого рассматривают дополнительную функцию, которая является абсолютно интегрируемой и имеет спектральную плотность S(ω) и связана с исследуемым сигналом формулой Релея:

1. постоянный сигнал.

U(t)=A, V(t), V(ω)

.

Используя фильтрующие свойства δ – функции, получим U(ω)=2π∙A∙δ(ω).

Чем шире временной сигнал, тем уже спектральная плотность.

2.

Вывод: чем больше длительность импульса, тем меньше ширина его спектра. Это важно для определения частотного диапазона аппаратуры, обрабатывающей сигнал (ей надо обеспечить широкую полосу пропускания).

Дата добавления: 2015-08-05