Кинематика гармонических колебаний.

Поговорим подробнее о фазе. Фаза колебаний полностью определяет состояние колебательной системы в рассматриваемый момент времени – зная фазу, можно рассчитать координату, скорость, ускорение тела, кинетическую и потенциальную энергию, силу, действующую на тело.

Покажем это. По определению проекция скорости – это первая производная от координаты тела по времени:

Видим, что скорость пружинного маятника, совершающего гармонические колебания, тоже меняется по гармоническому закону. Но аргумент функции в любой момент времени больше аргумента функции на π/2. В этом случае говорят, что скорость колеблющегося тела опережает координату по фазе на π/2.

Проекция ускорения – первая производная от скорости и вторая производная от координаты:

Фаза ускорения отличается от фазы координаты на π радиан – в этом случае говорят, что ускорение и координата колеблются в противофазе.

Зная деформацию пружины, скорость и ускорение колеблющегося тела, можно рассчитать его кинетическую и потенциальную энергии и силу, действующую на него:

Видим, что обе энергии, кинетическая и потенциальная, тоже меняются по гармоническому закону, только с удвоенной частотой.

Подведем некоторые итоги.

Мы показали, что пружинный маятник, будучи выведен из положения равновесия, совершает колебания, при которых все кинематические характеристики движения (координата, скорость, ускорение), сила, кинетическая и потенциальная энергии меняются по закону синуса или косинуса. Поэтому колебания пружинного маятника и называются гармоническими.

Осталось выяснить, от чего зависит численные значения констант А - амплитуды, ω – циклической частоты, φ ₀ - начальной фазы, входящих в уравнение движения колеблющегося тела (3).

Константа ω – циклическая частота – появилась в дифференциальном уравнении, когда мы ввели обозначение:

Видим, что циклическая частота зависит только от свойств самой колебательной системы. В случае пружинного маятника она зависит от жесткости пружины и массы прикрепленного к ней груза. Зная циклическую частоту на основании формулы (4) можем рассчитать период колебаний пружинного маятника . Он не зависит от размаха колебаний (только бы выполнялся закон Гука!), от способа выведения маятника из положения равновесия. Для данной пружины и данного груза период колебаний всегда одинаков!

Амплитуда колебаний зависит от энергии, сообщенной пружинному маятнику при выведении его из положения. Очевидно, в крайнем положении деформация пружины максимальна и равна амплитуде колебаний А. Полная энергия колебательной системы в этот момент состоит только из потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия в этот момент отсутствует, ибо в крайнем положении маятник остановился.

Тогда

Начальная фаза зависит от того, каким образом маятник вывели из положения равновесия. Например, маятник отклонили от положения равновесия на расстояние А и отпустили без начальной скорости. Запишем уравнение движения колеблющегося тела и учтем тот факт, что в начальный момент координата тела равна А:

Уравнение движения маятника, выведенного из положения равновесия таким способом, выглядит просто .

Другая ситуация – маятник привели в колебания, толкнув его в положении равновесия. Тогда начальная координата тела равна нулю:

Уравнение движения маятника тогда будет выглядеть следующим образом:

Знак, плюс или минус, зависит от выбора положительного направления оси 0Х. Если направление оси 0Х совпадает с направлением начальной скорости, то в уравнении движения будет знак плюс, и наоборот.

---

Дата добавления: 2015-07-24