Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Пружинный маятник – система, состоящая из пружины и прикрепленного к ней груза. Система располагается на горизонтальной поверхности. Рассмотрим идеальный случай, когда поверхность, по которой двигается груз, гладкая. Отсутствие трения в системе означает, что энергия, сообщенная системе при выведении ее из положения равновесия, будет сохраняться, не переходя во внутреннюю.

Выберем ноль на оси ОХ, вдоль которой колеблется груз, в положении недеформированной пружины. Такой выбор нуля позволяет приравнять координату тела х и деформацию пружины Δ L: x = Δ L.

Запишем второй закон Ньютона для груза, выведенного из положения равновесия:

Согласно закону Гука , а проекция ускорения – вторая производная от координаты тела по времени . Тогда

Введем обозначение

С учетом этого обозначения уравнение (1) примет вид

Получили дифференциальное уравнение, содержащее функцию и ее вторую производную, причем вторая производная прямо пропорциональна самой функции, взятой с противоположным знаком.

Решением дифференциального уравнения (2) является функция вида

Физический смысл констант А, ω, φ ₀ выясним, исходя из свойств гармонической функции.

а). Функция ограниченная, ее максимальное значение равно 1. Когда косинус принимает максимальное значение, равное единице, отклонение тела от положения равновесия тоже принимает максимальное значение . Таким образом, А - максимальное отклонение груза от положения равновесия – амплитуда.

б). Функция периодическая, ее значение повторяется при изменении аргумента на 2π. С другой стороны, движение полностью повторяется через время, равное периоду колебаний Т. Тогда нетрудно видеть, что через период аргумент косинуса изменяется на 2π:

Величину ω, отличающуюся от обычной частоты ν в 2π раз, называют циклической частотой. Циклическая частота ω – величина, численно равная числу колебаний, совершаемых за 2π секунды.

в). Аргумент косинуса называют фазой φ. В момент начала колебаний t = 0 аргумент косинуса становится равным ; поэтому величину называют начальной фазой колебаний. Фаза измеряется в радианах.

Дата добавления: 2015-07-24