Кинематика гармонических колебаний

Глава 24. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ

24.1.1. Колебания

Колебанием называется периодическая зависимость от времени какой-либо величины. Минимальный промежуток времени, через который величина повторяет своё значение, называется периодом колебаний Т:

.

Обозначим количество полных колебаний, произошедших за промежуток времени как . Частотой колебаний n называется количество полных колебаний в единицу времени.Частота измеряется в обратных секундах или в герцах: . Очевидно, что . Промежуток времени, за который произошло полных колебаний Þ . Итак

24.1.2. Гармонические колебания

Гармоническим называется колебание, при котором зависимость от времени переменной величины выражается гармонической функцией с линейной зависимостью фазы от времени при положительном коэффициенте пропорциональности:

.

Напомним традиционные названия величин, входящих в него:

· А - амплитуда (не зависит от времени);

· - фаза, аргумент гармонической функции;

· - постоянная по времени циклическая частота колебаний, которая связана с частотой n и периодом Т; она является скоростью изменения фазы;

· j ₀ - начальная фаза ().

Поскольку,

,

то начальная фаза в косинусном представлении отстаёт от начальной фазы в синусном на p /2:

.

24.1.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его общее решение

Гармоническим называется дифференциальное уравнение вида:

.

Проверим прямой подстановкой, что гармонический закон движения с неопределёнными амплитудой и начальной фазой является общим решением этого уравнения:

.

Аналогичную проверку выдерживает и синусное представление гармонической временной функции.

Как известно, общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две свободные константы, которые конкретизируются начальными условиями при реализации частного решения. Очевидно, что эту роль в нашем случае играют амплитуда и начальная фаза.

24.1.4. Векторное представление гармонических функций

Из теории дифференциальных уравнений следует принцип суперпозиции: сумма двух частных решений дифференциального уравнения тоже является его частным решением. Для гармонических колебаний это звучит так:

Дата добавления: 2015-07-24