Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Функции непрерывные в области.

Читайте также:
  1. HR– менеджмент: технологии, функции и методы работы
  2. II Частные производные функции нескольких переменных
  3. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  4. III этап – областная больница и медицинские учреждения области.
  5. III. Основные функции Управления
  6. IV. Функции
  7. IV. Функции

 

Def: Функция непрерывна на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Тº. (аналог теоремы Больцано - Коши). Пусть функция непрерывна в связной области D и такие, что тогда в области существует точка , в которой .

 

Δ. Соединим точки ломаной, принадлежащей области D. Если последовательно перебирать вершины ломаной, то окажется, что:

• либо в какой – то вершине функция равна нулю и тогда теорема доказана.

• либо это не так и, следовательно, найдется отрезок ломаной, на котором функция имеет разный знак на концах. Переобозначим концы этого отрезка как .

Уравнение этого отрезка прямой имеет вид: .

Тогда, при движении вдоль прямой исходная функция становится функцией одного переменного t: , которая непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций и к ней применима соответствующая теорема для функции одного переменного: .▲

 

1 -я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она ограничена на нем, т.е. .

Δ. От противного. Пусть неограниченна. Тогда .

Имеем последовательность . Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность и т.к. предельная точка замкнутой области D, , то из непрерывности следует, что , что противоречит .▲

 

2-я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.

Δ. (Докажем для верхней границы). Пусть . Т.к. М - точная верхняя грань, то

Построена п оследовательность ; извлекаем из нее сходящуюся подпоследовательность . Тогда , ибо функция непрерывна и, кроме того, . В пределе , но больше быть не может Þ . ▲

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 107 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Повторные пределы| Равномерная непрерывность функции на множестве.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)