Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнение касательной

Читайте также:
  1. Билет 33. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический разряд
  2. Билет 34. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс
  3. Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.
  4. Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонический колебаний
  5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс
  6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
  7. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Рассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0).

4∙(АТQТВ-4∙(АТQА)∙(ВТQВ)=0 (АТQТВ-(АТQА)∙(ВТQВ)=0.

Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (АТ∙QТХ) ² - ( АТ∙Q∙А)( Х Т∙Q∙Х) =0 (**)

Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике.

· А КВП АТQА=0 (АТQТХ=0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. АТQТХ =0 - уравнение касательной.

· А КВП.

(АТQТХ- (АТQА)∙(Х ТQХ) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного.

Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые

(АТQТХ- (АТQА)∙(Х ТQХ) = (иХ

ХТQХ= ((АТQТХ-(иХ)²)= ((АТQТХ)- иХ) ((АТQТХ)+иХ)

овальная квадрика ХТQХ распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке.

Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной.

Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.

 

 

Лемма. Пусть дана овальная квадрика х1²+х2²3²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а1²+а2²3² < 0 (если а1²+а2²3² > 0 - внешней).

Доказательство. (Самостоятельно).

Задача. Дана квадрика 2х1²+х3²-2х1х2-2х1х3=0.

Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В .

Решение. Матрица квадрики Q= .

АТQА=(1:8:5)∙ =(-11:-1:4)∙ =1 А КВП,

Применим формулу (**) (АТQТХ- (АТQА)∙(Х ТQХ) = 0.

АТQХ=( 1: 8 : 5 )∙ =(-11 : -1 : 4)∙ 11∙х1+ х2 - 4∙х3=0

(11∙х1 + х2 - 4∙х3 )² - 1∙(2∙х1² + х3² - 2∙х1х2 - 2∙х1х3 ) =

= 121∙х1² + х2² + 16∙х3² + 22∙х1х2 - 88∙х1х3 - 8∙х2х3 - 2∙х1² - х3² + 2∙х1х2 + 2∙х1х3 =

= 119∙х1² + х2² + 15∙х3² + 24∙х1х2 - 86∙х1х3 - 8∙х2х3 =

= х2² +2∙х2∙12∙х1 -2∙х2∙4∙х3 +144∙х1² +16∙х3² -2∙12∙х1∙4∙х3 -144∙х1² -16∙х3² +96∙х1х3 +119∙х1² +15∙х3² -86∙х1х3 =



= (х2 + 12∙х1 -∙4∙х3- 25∙х1² - х3² + 10∙х1х3 = (х2 + 12∙х1 -∙4∙х3- (5∙х1 - х3 )² =

= ((х2 + 12∙х1 - 4∙х3 ) - (5∙х1 - х3 ))∙((х2 + 12∙х1 - 4∙х3 ) + (5∙х1 - х3 ))=

= (х2 + 12∙х1 - 4∙х3 - 5∙х1 + х3 )∙(х2 + 12∙х1 - 4∙х3 + 5∙х1 - х3 )=

= (х2 +7∙х1 -3∙х3 )∙(х2 +17∙х1 -5∙х3) = (7∙х1 + х2 - 3∙х3 )∙(17∙х1 + х2 - 5∙х3) = 0.

Т.о. касательные: 7∙х1 + х2 - 3∙х3 = 0 и 17∙х1 + х2 - 5∙х3 = 0.

ВТQВ=(18:13:6)∙ = (17:-18:-12) ∙ =0 В КВП.

Уравнение касательной:

ВТQХ = ( 18 : 13 : 6 )∙ = 0 ( 17 : -18 : -12 )∙ = 17∙х1 -18·х2 - 12∙х3 = 0.

 

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 60 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Принцип двойственности | Теорема Дезарга | Простое отношение | Сложное отношение | Гармонизм | Гармонические свойства полного четырехвершинника | Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника | Задачи на построение. | Квадрики на проективной плоскости | Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Взаимное расположение прямой и квадрики| Полюс и поляра

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.007 сек.)