Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Преобразование моментов инерции.

Читайте также:
  1. V. Выкладывание из синих и красных фишек прямых слогов и их преобразование.
  2. Z-преобразование синусной компоненты выходного сигнала связано с Z-преобразованием входного сигнала следующим соотношением
  3. В.2. Электромеханическое преобразование энергии
  4. Вопрос 27. Эквивалентные схемы операционного усилителя. Преобразование свойств цепей операционным усилителем. Сумматоры и конверторы отрицательных сопротивлений.
  5. Вопрос 3. Источники напряжения и тока (определение, условно графическое обозначение, взаимное преобразование). Примеры источников напряжения и тока.
  6. Вычисление моментов инерции.
  7. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

1. Рассмотрим задачу об изменении моментов инерции относительно параллельных осей. Введём две системы координат: Оxyz и O'x'y'z'. Связь между координатами в обеих системах запишется в виде:

По определению моментов инерции имеем

.

Первое слагаемое – это момент инерции относительно оси O'Z', а по определению центра масс последние два слагаемые есть .

Окончательно получаем

.

Если начало координат О' является центром масс тела, то (ось O'Z' в этом случае является центральной) и получаем известную формулу Гюйгенса (62)

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Следствием формулы (62) является утверждение, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно другой параллельной оси. Аналогично получаются формулы для осевых моментов инерции для двух других осей.

Но остаётся вопрос: а как изменяются центробежные моменты, остаются ли главными новые оси инерции? В новых осях центробежные моменты имеют вид

Если все три оси системы O'x'y'z' являлись главными и центральными, то и новые оси также будут главными и центральными (начало О' находилось в центре масс). Если все три оси главные, но при этом, например, только ось O'Z' - центральная (, а ), то ось O'Z' перестаёт быть главной, она будет главной только в точке, где .

2. Рассмотрим теперь, как изменяются моменты инерции при повороте системы координат (рис.56). В этом случае

(64)

=

Преобразуем интеграл

тогда окончательно получим

. (65)

Для двух остальных центробежных моментов инерции получим

Из приведённых формул видно, что при повороте вокруг главной оси O'Z' оси OX и OY перестают быть главными. Но из формулы (65) следует интересный вывод: если оси OX' и OY' не главные, то поворотом на угол

оси OX и OY становятся главными.

Осевой момент инерции при повороте, очевидно, не меняется, а два остальных изменятся. Действительно (в дальнейшем будем осуществлять переход от осей Оxyz к осям O'x'y'z', при этом ) для получим

(66)

Проведя те же выкладки для , имеем

Анализируя полученные результаты для осевых моментов инерции, можно записать

Мы получили первый инвариант тензора инерции.

Рассмотрим пример. Найти со­отношение между радиусами ци­линдра и его дли­ной l, при котором тензор инерции полого ци­линдра в его центре инерции явля­ется шаровым тензором. Вводя систему осей х,у,z с началом в точке С правим ось z вдоль геометриче­ской оси цилиндра. Формулы для моментов инерции в данном случае пре­образуются к виду

(67)

Применяя цилиндрические координаты, имеем где объем V полого цилиндра дается формулой .

Тогда интегралы, входящие в формулы (67), вычисляют­ся так:

(68)

.

Шаровой тензор имеет равные осевые моменты инерции, т.е. , согласно результатам (68) это будет иметь место при .


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 118 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Динамика системы материальных точек | Теорема об изменении количества движения системы материальных | Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек. | Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки. | Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции. | Главные оси инерции и главные моменты инерции. | Кинетическая энергия твёрдого тела. | Дифференциальные уравнения движения твердого тела | Динамика плоско-параллельного движения тела. | Реакция оси вращающегося тела. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычисление моментов инерции.| Кинетический момент твердого тела.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)